高中数学人教A版必修四教学案:3.2 简单的三角恒等变换含答案
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[核心必知]
1.预习教材,问题导入
根据以下提纲,预习教材P 139~P 142的内容,回答下列问题. (1)α与α
2是什么关系?
提示:倍角关系.
(2)如何用cos α表示sin 2 α2,cos 2 α2和tan 2 α
2
?
提示:sin 2α2=1-cos α2,cos 2α2=1+cos α2,tan 2α2=1-cos α
1+cos α.
2.归纳总结,核心必记 (1)半角公式
(2)三角恒等变换的特点
三角恒等变换常常寻找式子所包含的各个角之间的联系,并以此为依据选择可以联系它们的适当公式.
[问题思考]
(1)能用不含根号的形式用sin α,cos α表示tan α
2吗?
提示:tan_α
2=sin α1+cos α=1-cos αsin α
.
(2)如何用tan α
2表示sin α,cos α及tan α?
提示:sin_α=2sin α2·cos α
2
=
2sin α2·cos
α2sin 2
α
2
+cos 2
α
2=
2tan
α
2
1+tan 2
α
2
._cos_α=cos 2_α2-sin 2_α
2=
cos 2
α
2-sin 2
α2cos 2 α2+sin 2 α2=1-tan 2 α21+tan 2 α2.tan_α=sin α
cos α=2tan
α
21-tan 2
α2
.
[课前反思]
(1)半角公式的有理形式: ;
(2)半角公式的无理形式: .
讲一讲
1.已知sin α=-45,π<α<3π2,求sin α2,cos α2,tan α
2的值.
[尝试解答] ∵π<α<3π2,sin α=-4
5,
∴cos α=-3
5,且π2<α2<3π4,
∴sin α
2=
1-cos α2=25
5, cos α
2
=- 1+cos α2=-5
5
, tan α
2=sin
α
2cos
α2
=-2.
解决给值求值问题的思路方法
已知三角函数式的值,求其他三角函数式的值,一般思路为: (1)先化简已知或所求式子;
(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手); (3)将已知条件代入所求式子,化简求值. 练一练
1.已知sin α2-cos α2=-15
,450°<α<540°,求tan α
2的值.
解:由题意得⎝⎛⎭⎫sin α2
-cos α22
=1
5,
即1-sin α=15,得sin α=4
5.
∵450°<α<540°, ∴cos α=-3
5,
∴tan α2=1-cos αsin α
=1-⎝⎛⎭⎫-3545
=2.
讲一讲
2.化简:(1+sin α+cos α)⎝⎛⎭⎫sin α2
-cos α
22+2cos α(180°<α<360°).
[尝试解答] 原式=
⎝
⎛⎭⎫2cos 2 α2+2sin α2cos α2⎝⎛⎭⎫
sin α2-cos α22·2cos 2
α2
=2cos α2⎝⎛⎭⎫cos α2+sin α2⎝⎛⎭⎫sin α2-cos α22⎪⎪⎪
⎪cos α2
=cos α
2(-cos α)
⎪⎪⎪⎪cos α2.
又∵180°<α<360°, ∴90°<α
2<180°,
∴cos α
2
<0,
∴原式=cos α
2
·(-cos α)
-cos
α2
=cos α.
化简问题中的“三变”
(1)变角:三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系,通过拆、凑等手段消除角之间的差异,合理选择联系它们的公式.
(2)变名:观察三角函数种类的差异,尽量统一函数的名称,如统一为弦或统一为切. (3)变式:观察式子的结构形式的差异,选择适当的变形途径.如升幂、降幂、配方、开方等.
练一练 2.化简:
(1)1+sin θ-1-sin θ⎝⎛
⎭
⎫3π
2<θ<2π; (2)sin (2α+β)
sin α-2cos(α+β).
解:(1)原式=⎪
⎪⎪⎪sin
θ
2+cos θ2-⎪⎪⎪
⎪sin θ2-cos θ2, ∵
3π2<θ<2π,∴3π4<θ
2
<π, ∴0 从而sin θ2+cos θ2<0,sin θ2-cos θ 2>0. ∴原式=-⎝ ⎛⎭⎫sin θ 2+cos θ2-⎝⎛⎭ ⎫sin θ2-cos θ 2 =-2sin θ 2 . (2)∵2α+β=α+(α+β), ∴原式=sin[(α+β)+α]-2cos (α+β)sin α sin α =sin (α+β)cos α-cos (α+β)sin α sin α = sin[(α+β)-α]sin α=sin β sin α . 讲一讲