高等数学下考试题库(附答案)

《高等数学》试卷1（下）一.选择题（3分10）1.点M12,3,1到点M22,7,4的距离M1M2（）.A.3B.4C.5D.62.向量ai2jk,b2ij，则有（）.A.a∥bB.a⊥bC. a,bD.3 a,b43.函数122y2xy的定义域是（）.22xy12y2y22A.x,y1x2B.x,y1x22y2y22C.x,y1x2Dx,y1x24.两个向量a与b垂直的充要条件是（）.A.ab0B.ab0C.ab0D.ab0335.函数zxy3xy 的极小值是（）.A.2B.2C.1D.16.设zxsiny，则zy 1, 4＝（）.A.22B.22C.2D.27.若p级数n1 1 pn收敛，则（）.A.p1B.p1C.p1D.p18.幂级数n1nxn的收敛域为（）.A.1,1B1,1C.1,1D.1,19.幂级数nx02n在收敛域内的和函数是（）.1221A.B.C.D.1x2x1x2x 10.微分方程xyylny0的通解为（）.A. xyceB.xyeC.xycxeD. ycxe二.填空题（4分5）1.一平面过点A0,0,3且垂直于直线AB，其中点B2,1,1，则此平面方程为______________________.2.函数zsinxy的全微分是______________________________.3yxy3xy2 3.设zx31，则2zxy_____________________________.1的麦克劳林级数是___________________________.4.2x三.计算题（5分6）zzu sin，而uxy,vxy，求,.1.设zevxyzz2yzxz222.已知隐函数zzx,y由方程x24250确定，求,.xy22 3.计算sinxyd，其中24222 D:xy.D4.求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R为半径）.四.应用题（10分2）1.要用铁板做一个体积为23m的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？.试卷1参考答案一.选择题CBCADACCBD二.填空题1.2xy2z60.2.cosxyydxxdy.2yy23.6x91.4.n0n1n12nx.11.y2x CCxe1.2三.计算题zxyzxy4.eysinxycosxy，exsinxycosxy.xy5.zx2zx1,zy2zy1.6.22dsind26.7.1633R.8.y3xe2ex.四.应用题5.长、宽、高均为m32时，用料最省.126.yx.3《高数》试卷2（下）一.选择题（3分10）2.点M14,3,1，M27,1,2的距离M1M2（）.A.12B.13C.14D.153.设两平面方程分别为x2y2z10和xy50，则两平面的夹角为（）.A.B.C.D.64324.函数22zarcsinxy的定义域为（）.2y2y22A.x,y0x1B.x,y0x1C. 2y2x,y0xD.2 x,y0x 2y225.点P1,2,1到平面x2y2z50的距离为（）.A.3B.4C.5D.66.函数222z2xy3xy的极大值为（）.A.0B.1C.1D. 1 212.设z 23xyy2zx，则1,2x（）.A.6B.7C.8D.913.若几何级数nar是收敛的，则（）. n0A.r1B.r1C.r1D.r114.幂级数nn1x的收敛域为（）.n0A.1,1B.1,1C.1,1D.1,115.级数sinnn1n a4 是（）.A.条件收敛B.绝对收敛C.发散D.不能确定二.填空题（4分5）x3t9.直线l过点A2,2,1且与直线yt 平行，则直线l的方程为__________________________.z12t10.函数xyze的全微分为___________________________.11.曲面242z2xy在点2,1,4处的切平面方程为_____________________________________.三.计算题（5分6）7.设ai2jk,b2j3k，求ab.8.设zz 2zu，而uxcosy,vxsiny，求,.2vuvxyzz3xyz9.已知隐函数zzx,y由x32确定，求,.xy10.如图，求球面2y2z24a22 2x与圆柱面xy2ax（a0）所围的几何体的体积.四.应用题（10分2）16.试用二重积分计算由yx ,y2x 和x4所围图形的面积.试卷2参考答案一.选择题CBABACCDBA. 二.填空题 12.x 2y2z 112 1 . xy13.eydxxdy.14.8x8y z4.15.1n0nx 2n. 16.3 yx. 三.计算题11.8i3j2k.z 2z 333312.3xsinycosycosysiny,2xsinycosysinycosyxsinycosy .xy zyzzxz 13.2,2xxyzyxyz. 14. 3232 a.323 15. 2xxCeyCe21.四.应用题17. 16 3.12xgtvtx.2.002《高等数学》试卷3（下）一、选择题（本题共10小题，每题3分，共30分） 2、设a=i+2j-k,b=2j+3k ，则a 与b 的向量积为（） A 、i-j+2k B 、8i-j+2k C 、8i-3j+2k D 、8i-3i+k3、点P （-1、-2、1）到平面x+2y-2z-5=0的距离为（） A 、2B 、3C 、4D 、54、函数z=xsiny 在点（1，）处的两个偏导数分别为（） 42A 、,22 2,2 B 、,22 2C 、2 22 2D 、2 22 2, 5、设x 2+y 2+z 2=2Rx ，则2+y 2+z 2=2Rx ，则z x z,分别为（）yA 、x R z yx ,B 、 z z R yxRy ,C 、,D 、 zzzx z R , y z 6、设圆心在原点，半径为R ，面密度为2y 2 x 的薄板的质量为（）（面积A= 2 R ）1A 、R2AB 、2R 2AC 、3R 2AD 、RA22n xn7、级数(1)的收敛半径为（）nn1A 、2B 、1 2C 、1D 、38、cosx 的麦克劳林级数为（）A 、 ( n0 n 1) ( 2n x 2n)!B 、 (1) n1n 2n x (2n)! C 、 n 0 ( 1) n 2n x (2n)!D 、 n 0 ( 1) n ( 2n x 2n 1 1)!二、填空题（本题共5小题，每题4分，共20分）___________。

x1y31、直线L1：x=y=z与直线L2：z的夹角为21x1y2z直线L3：与平面3x2y6z0之间的夹角为212 ____________。

2.03的近似值为________,sin100的近似值为___________。

2、（0.98）3、二重积分22d,D:xy1的值为___________。

Dn4、幂级数的收敛半径为n!x__________，n0 nnx0n!的收敛半径为__________。

三、计算题（本题共6小题，每小题5分，共30分）2、求曲线x=t,y=t2,z=t3在点（1，1，1）处的切线及法平面方程.xyd，其中D由直线y1,x2及yx围成.3、计算D4、问级数(1)n11n？，？sin收敛吗若收敛则是条件收敛还是绝对收敛n5、将函数f(x)=e 3x展成麦克劳林级数四、应用题（本题共2小题，每题10分，共20分）2而体积最大的长方体体积。

1、求表面积为a参考答案一、选择题1、D2、C3、C4、A5、B6、D7、C8、A9、B10,A二、填空题1、28arcos,arcsin2、0.96，0.1736521183、л4、0，+5、yce2x12,cx1y三、计算题2、解：因为x=t,y=t 2,z=t3,所以xt=1,yt=2t,zt=3t 2 ，所以xt|t=1=1,yt|t=1=2,zt|t=1=3 故切线方程为：x 1y1z 1231法平面方程为：（x-1）+2(y-1)+3(z-1)=0 即x+2y+3z=63、解：因为D 由直线y=1,x=2,y=x 围成， 所以 D ：1≤y ≤2y ≤x ≤2故： Dxyd3 y222[xydx]dy(2y)dy 1y121 8 14、解：这是交错级数，因为Vnsin 1 n 0， 所以 ，Vn1Vn,limsin且1 n ，所以该级数为莱布尼兹型级数 0，故收敛。

又 n1 sin 1 n 当x 趋于0时，sinx ~ x ，所以 ， lim nsin 1 n1 n 1，又级数 n11 n 发散，从而 n1sin 1 n 发散。

5 ，。

所以原级数条件收敛 、解：因为w e1x 1 2! x 2 1 3!3 x1 n!x n x(,)用2x 代x ，得： 2 e x 1(2x) 1 2! ( 2x) 2 1 3!(2x) 3 1 n!(2 x) n12x 2 2 2! 2 x3 2 3! x 3 n 2 n! x n x(,) 四、应用题1、解：设长方体的三棱长分别为x ，y ，z 2则2（xy+yz+zx ）=a 构造辅助函数2F （x,y,z ）=xyz+(2xy2yz2zxa)求其对x,y,z的偏导，并使之为0，得：yz+2(y+z)=0xz+2(x+z)=0xy+2(x+y)=0与2(xy+yz+zx)-a 2=0联立，由于x,y,z均不等于零可得x=y=z代入2(xy+yz+zx)-a 2=0得x=y=z= 6a6所以，表面积为a2而体积最大的长方体的体积为2而体积最大的长方体的体积为Vxyz36a362、解：据题意dMdtM其中0为常数初始条件MMt00对于d Mdt M 式dMMdt两端积分得lnMtlnCt所以ce，M又因为MMt00所以，MCt所以，MMe由此可知，铀的衰变规律为：铀的含量随时间的增加而按指数规律衰减。

《高数》试卷4（下）一．选择题：31030１．下列平面中过点（１,１,1）的平面是．（Ａ）ｘ＋ｙ＋ｚ＝０（Ｂ）ｘ＋ｙ＋ｚ＝１（Ｃ）ｘ＝１（Ｄ）ｘ＝３２．在空间直角坐标系中，方程x2y22表示．（Ａ）圆（Ｂ）圆域（Ｃ）球面（Ｄ）圆柱面３．二元函数z(1x)2(1y)2的驻点是．（Ａ）（０,０）（Ｂ）（０,１）（Ｃ）（１,０）（Ｄ）（１,１）４．二重积分的积分区域Ｄ是1x2y24，则dxdy．D（Ａ）（Ｂ）4（Ｃ）3（Ｄ）15５．交换积分次序后1x0dx(x,)dy．fy（Ａ）1dy1y f(x,y)dx （Ｂ）1dy10 f(x,y)dx （Ｃ）1dyy0 f (x,y)dx（Ｄ）xdy10 f (x,y)dx６．ｎ阶行列式中所有元素都是１，其值是．（Ａ）ｎ（Ｂ）０（Ｃ）ｎ！（Ｄ）１８．下列级数收敛的是．（Ａ）n (1n1)1 nn1（Ｂ）nn3n12（Ｃ）n 1(n1)n1（Ｄ）1nn1９．正项级数n u和n1 nv满足关系式u n v n，则．n1（Ａ）若u收敛，则n v收敛（Ｂ）若nv收敛，则nu收敛nn1n1n1n1（Ｃ）若v发散，则n u发散（Ｄ）若nu收敛，则nv发散nn1n1n1n11 １０．已知：1xx21x ，则112x的幂级数展开式为．（Ａ）1x2x4（Ｂ）1x2x4（Ｃ）1x2x4（Ｄ）1x2x4二．填空题：4520１．数zx2y21ln(2x2y2)的定义域为．y２．若f(x,y)xy，则f(,1)．x３．已知(x0,y0)是f(x,y)的驻点，若fxx(x0,,y0)3,fyy(x0,y0)12,fxy(x0,y0)a则当时，(x0,y0)一定是极小点．５．级数n u收敛的必要条件是．n1三．计算题(一)：6530１．已知：zx y，求：z ， x z ． y２．计算二重积分xd42，其中D{(x,y)|0y4x 2,0x2}． D1 2 2 0 11，Ｂ＝ 1 02 1 03 2 1３．已知：ＸＢ＝Ａ，其中Ａ＝，求未知矩阵Ｘ． n x n1４．求幂级数(1)的收敛区间．nn1５．求f(x)e x的麦克劳林展开式（需指出收敛区间）．四．计算题(二)：10220１．求平面ｘ－２ｙ＋ｚ＝２和２ｘ＋ｙ－ｚ＝４的交线的标准方程．参考答案一．１．Ｃ；２．Ｄ；３．Ｄ；４．Ｄ；５．Ａ；６．Ｂ；７．Ｂ；８．Ｃ；９．Ｂ；１０．Ｄ． 二．１．(x,y)|1x 2y 22２．y x３．6a6４．２７５．limu n 0 nzyyz四．1．解：xy1 yxlnxy2．解： D4 x 2d2 dx 042x 3x2 4xdy(4x)dx4x2232 0 163 3．解：127 1021AB1B012,.2415001４．解：R1,当|x|〈1时，级数收敛，当x=1时，得 n1 ( n 1) n1 收敛，当x1时，得n1( 2n11 1) nn发散，所以收敛区间为(1,1].n1５．解：.因为nnnx(x)(1)ex(,),所以nxxxe0n!0n!n!nnn0x(,).ijk四．1．解：.求直线的方向向量:ijks12135,求点:令z=0,得y=0,x=2,即交点为(2,0.0),所211以交线的标准方程为:.x 12yz 35 《高数》试卷5（下）一、选择题（3分/题） 1、已知aij ，bk ，则ab （）A0BijCijDij2y 22、空间直角坐标系中x1表示（）A 圆B 圆面C 圆柱面D 球面3、二元函数sinxy z 在（0，0）点处的极限是（）xA1B0CD 不存在1 14、交换积分次序后dxf (x,y)dyx 0=（） 1 1 Adyf(x,y)dx 0 0 1 1 Bdyf(x,y)dx0 x 1 1 Cdyf(x,y)dx y 0 1 y Ddyf(x,y)dx0 0 5、二重积分的积分区域D 是xy1，则dxdy （）DA2B1C0D4 10、正项级数u 和 n v 满足关系式u n v n ，则（） nn1n1A 若u 收敛，则 n v 收敛B 若 n v 收敛，则 n u 收敛 nn1n1n1n1C 若v 发散，则 n u 发散D 若 n u 收敛，则 n v 发散 nn1n1n1n1二、填空题（4分/题）1、空间点p（-1，2，-3）到xoy平面的距离为2yxy22、函数f(x,y)x4682在点处取得极小值，极小值为3、级数u收敛的必要条件是nn1三、计算题（6分/题）1、已知二元函数z2yx，求偏导数zx，zy2、求两平面：x2y z2与2xyz4交线的标准式方程。