高中数学必修2圆与方程复习.doc

第四章 圆与方程

1、圆的定义： 平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。

2、圆的方程

（ 1）标准方程

x a 2

y b 2 r 2 ，圆心 a, b ，半径为 r ； 点 M ( x 0 , y 0 ) 与圆 (x a)2 ( y b)2

r 2 的位置关系：

当 ( x 0 a)2 ( y 0 b)2 > r 2 ，点在圆外

当 ( x 0 a)2 ( y 0 b)2 = r 2 ，点在圆上

当 ( x 0 a)2

( y 0 b)2 < r 2 ，点在圆内

（ 2）一般方程 x 2 y 2

Dx Ey F 0

当 D

2

E

2

4 F 0 时，方程表示圆，此时圆心为

D , E

，半径为

r

1 D

2 E 2 4 F

2 2

2

当 D 2 E 2 4 F

0 时，表示一个点；

当 D

2

E 2 4 F

0 时，方程不表示任何图形。

（ 3）求圆方程的方法：

一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，

需求出 a ， b ， r ；若利用一般方程，需要求出 D ， E ， F ；

另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。

3、直线与圆的位置关系：

直线与圆的位置关系有 相离，相切，相交 三种情况：

（ 1 ） 设 直 线 l : Ax

2

2

l

的距离为

By C 0 ， 圆 C : x a

y br 2 ， 圆 心 C a, b 到

Aa

Bb C

，则有

d rl 与C 相离 ； d r

l 与 C 相切 ； d r

l 与 C 相

交

d

B 2

A 2

（ 2）过圆外一点的切线 ：① k 不存在，验证是否成立② k 存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离 =半

径，求解 k ，得到方程【一定两解】

(3) 过 圆 上 一 点 的 切 线 方 程 ： 圆 (x-a)2+(y-b) 2=r 2 ， 圆 上 一 点 为 (x 0 ， y 0) ， 则 过 此 点 的 切 线 方 程 为

(x 0-a)(x-a)+(y 0 -b)(y-b)= r

2

4、圆与圆的位置关系： 通过两圆半径的和（差） ，与圆心距（ d ）之间的大小比较来确定。

2

2

2 ， C 2 : x a 2 2

2

2 设圆 C 1 : x a 1y b 1r y b 2 R 两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差） ，与圆心距（ d ）之间的大小比较来确定。 当 d R r 时两圆外离，此时有公切线四条；

当 d R r 时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条；

当 R r d R r 时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线； 当 d

R r 时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线； 当 d

R r 时，两圆内含；

当 d

0 时，为同心圆。

注意：已知圆上两点，圆心必在中垂线上；已知两圆相切，两圆心与切点共

线圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点

第四章 圆与方程

一、选择题

1．若圆 C 的圆心坐标为 ( 2，－ 3) ，且圆 C 经过点 M( 5，－ 7) ，则圆 C 的半径为 ( ) ．

A ． 5

B ． 5 C．25 D． 10

2．过点 A( 1，－ 1) ， B( －1， 1) 且圆心在直线x＋ y－2＝ 0 上的圆的方程是 ( ) ．

A ． ( x－3) 2＋ ( y＋ 1) 2＝4 B． ( x＋ 3) 2＋( y－ 1) 2＝ 4

C． ( x－ 1) 2＋ ( y－ 1) 2＝ 4 D． ( x＋1) 2＋ ( y＋ 1) 2＝ 4

3．以点 ( －3， 4) 为圆心，且与 x 轴相切的圆的方程是 ( ) ．

A ． ( x－3) 2＋ ( y＋ 4) 2＝16 B． ( x＋ 3) 2＋( y－ 4) 2＝ 16

C． ( x－ 3) 2＋ ( y＋ 4) 2＝ 9 D． ( x＋3) 2＋ ( y－ 4) 2＝ 19

4．若直线 x＋ y＋ m＝ 0 与圆 x2＋y2＝ m 相切，则 m 为( ) ．

A．0或2 B ． 2 C． 2 D．无解

5．圆 ( x－ 1) 2＋( y＋ 2) 2＝ 20 在 x 轴上截得的弦长是 ( ) ．

A ． 8

B ． 6 C．6 2 D． 4 3

6．两个圆 C1： x2＋ y2＋ 2x＋2y－ 2＝ 0 与 C2： x2＋ y2－ 4x－ 2y＋ 1＝ 0 的位置关系为 ( ) ．

A ．内切

B ．相交C．外切D．相离

7．圆 x2＋ y2－ 2x－5＝ 0 与圆 x2＋ y2＋ 2x－ 4y－ 4＝ 0 的交点为A，B，则线段AB 的垂直平分线的方程是( ) ．

A ． x＋ y－ 1＝ 0

B ．2x－ y＋ 1＝0

C． x－ 2y＋ 1＝ 0 D ．x－ y＋ 1＝0

8．圆 x2＋ y2－ 2x＝0 和圆 x2＋ y2＋ 4y＝0 的公切线有且仅有 ( ) ．

A．4 条B．3 条C．2 条D．1 条

9．在空间直角坐标系中，已知点M( a， b， c) ，有下列叙述：

点 M 关于 x 轴对称点的坐标是M1( a，－ b， c) ；

点 M 关于 yoz 平面对称的点的坐标是M2( a，－ b，－ c) ；

点 M 关于 y 轴对称的点的坐标是M 3( a，－ b， c) ；

点 M 关于原点对称的点的坐标是M 4( －a，－ b，－ c) ．

其中正确的叙述的个数是( ) ．

A ． 3

B ． 2 C．1 D． 0

10．空间直角坐标系中，点A( － 3， 4， 0) 与点 B( 2，－ 1， 6) 的距离是 ( ) ．

A ． 2 43 B．2 21 C．9 D． 86

二、填空题

11．圆 x2＋ y2－ 2x－ 2y＋1＝ 0 上的动点 Q 到直线 3x＋ 4y＋ 8＝ 0 距离的最小值为．

12．圆心在直线 y＝ x 上且与 x 轴相切于点 ( 1， 0) 的圆的方程为．

13．以点 C( － 2，3) 为圆心且与 y 轴相切的圆的方程是．

14．两圆 x2＋ y2＝ 1 和 ( x＋ 4) 2＋ ( y－ a) 2＝ 25 相切，试确定常数a 的值．

15．圆心为 C( 3，－ 5) ，并且与直线x－ 7y＋ 2＝ 0 相切的圆的方程为．

16．设圆 x2＋ y2－ 4x－ 5＝ 0 的弦 AB 的中点为 P( 3， 1) ，则直线 AB 的方程是．

三、解答题

17．求圆心在原点，且圆周被直线3x＋ 4y＋ 15＝ 0 分成 1∶ 2 两部分的圆的方程．