傅立叶变换的原理、意义和应用
1概念：编辑
傅里叶变换是一种分析信号的方法，它可分析信号的成分，也可用这些成分合成信号。许多波形可作为信号的成分，比如正弦波、方波、锯齿波等，傅里叶变换用正弦波作为信号的成分。
参考《数字信号处理》杨毅明著p.89，机械工业出版社2012年发行。定义
f(t）是t的周期函数，如果t满足狄里赫莱条件：在一个周期内具有有限个间断点，且在这些间断点上，函数是有限值；在一个周期内具有有限个极值点；绝对可积。则有下图①式成立。称为积分运算f(t）的傅里叶变换，
②式的积分运算叫做F（ω）的傅里叶逆变换。F（ω）叫做f(t）的像函数，f(t）叫做
F（ω）的像原函数。F（ω）是f(t）的像。f(t）是F（ω）原像。
①傅里叶变换
②傅里叶逆变换
中文译名
Fourier transform或Transformée de Fourier有多个中文译名，常见的有“傅里叶变换”、“付立叶变换”、“傅立叶转换”、“傅氏转换”、“傅氏
变换”、等等。为方便起见，本文统一写作“傅里叶变换”。
应用
傅里叶变换在物理学、电子类学科、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值谱——显示与频率对应的幅值大小）。
相关
* 傅里叶变换属于谐波分析。
* 傅里叶变换的逆变换容易求出，而且形式与正变换非常类似;
* 正弦基函数是微分运算的本征函数，从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变的物理系统内，频率是个不变的性质，从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取；
*卷积定理指出：傅里叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算，从而提供了计算卷积的一种简单手段；
* 离散形式的傅立叶变换可以利用数字计算机快速地算出（其算法称为快速傅里叶变换算法（FFT)).[1]
2性质编辑
线性性质
傅里叶变换的线性，是指两函数的线性组合的傅里叶变换，等于这两个函数分别做傅里叶变换后再进行线性组合的结果。具体而言，假设函数
和
的傅里叶变换
和
都存在，
和
为任意常系数，则有
尺度变换性质
若函数
的傅里叶变换为
，则对任意的非零实数
，函数
的傅里叶变换
存在，且等于
对于
的情形，上式表明，若将
的图像沿横轴方向压缩
倍，则其傅里叶变换的图像将沿横轴方向展宽
倍，同时高度变为原来的
。对于
的情形，还会使得傅里叶变换的图像关于纵轴做镜像对称。平移性质
若函数
的傅里叶变换为
，则对任意实数
，函数
也存在傅里叶变换，且其傅里叶变换
等于
也就是说，
可由
向右平移
得到。
微分关系
若函数
的傅里叶变换为
，且其导函数
的傅里叶变换存在，则有
即导函数的傅里叶变换等于原函数的傅里叶变换乘以因子
。更一般地，若
的
阶导数
的傅里叶变换存在，则
即
阶导数的傅里叶变换等于原函数的傅里叶变换乘以因子
。
卷积特性
若函数
以及
都在
上绝对可积，则卷积函数
的傅里叶变换存在，且
Parseval定理以及Plancherel定理
若函数
以及
平方可积，二者的傅里叶变换分别为
与
，则有
上式被称为Parseval定理。特别地，对于平方可积函数
，有
上式被称为Plancherel定理。这两个定理表明，傅里叶变换是平方可积空间
上的一个运算符（若不考虑因子
）。
3特殊变换编辑
连续傅里叶变换
一般情况下，若“傅里叶变换”一词的前面未加任何限定语，则指的是“连续傅里叶变换”。“连续傅里叶变换”将平方可积的函数
表示成复指数函数的积分形式：
上式其实表示的是连续傅里叶变换的逆变换，即将时间域的函数表示为频率域的函数
的积分。反过来，其正变换恰好是将频率域的函数
表示为时间域的函数
的积分形式。一般可称函数
为原函数，而称函数
为傅里叶变换的像函数，原函数和像函数构成一个傅里叶变换对（transform pair）。
当
为奇函数（或偶函数）时，其余弦（或正弦）分量为零，而可以称这时的变换为余弦变换（或正弦变换）。
傅里叶级数
主条目：傅里叶级数
连续形式的傅里叶变换其实是傅里叶级数的推广，因为积分其实是一种极限形式的求和算子而已。对于周期函数，它的傅里叶级数（Fourier series）表示被定义为：
其中
为函数的周期，
为傅里叶展开系数，它们等于
对于实值函数，函数的傅里叶级数可以写成：
其中
和
是实频率分量的振幅。
离散时间傅里叶变换
主条目：离散时间傅里叶变换
离散时间傅里叶变换（discrete-time Fourier transform, DTFT）针对的是定义域为
的数列。设
为某一数列，则其DTFT被定义为
相应的逆变换为
DTFT在时域上离散，在频域上则是周期的，它一般用来对离散时间信号进行频谱分析。DTFT可以被看作是傅里叶级数的逆。
离散傅里叶变换
为了在科学计算和数字信号处理等领域使用计算机进行傅里叶变换，必须将函数定义在离散点上而非连续域内，且须满足有限性或周期性条件。这种情况下，序列
的离散傅里叶变换（discrete Fourier transform, DFT）为
其逆变换为
直接使用DFT的定义计算的计算复杂度为
