研究生 泛函分析总结
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应用泛函分析总结
1.距离空间的定义:设X 是非空集合,若存在一个映射d :X ×X →R ,使得
∀x,y,z ∈X,下列距离公理成立:
(1)非负性:d(x,y)≥0,d(x,y)=0⇔x=y; (2)对称性:d(x,y)=d(y,x);
(3)三角不等式:d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y);
则称d(x,y)为x 与y 的距离,X 为以d 为距离的距离空间,记作(X ,d ). P37 例题2.1.2
2.距离空间中的开集与闭集【两个定理的证明会考一个】
设A ⊂X ,若0A A =,则称A 为X 中的开集;若A =A ,则称A 为X 中的闭集。 定理2.2.1(开集与闭集的对偶性)开集的余集是闭集,闭集的余集是开集。 证:设A 为开集,则有A ∂⊂C A ;再由'0A A A A A =∂=,有
C C C C C C C A A A A A A A A =∂=∂=∂= )()()(0 故C A 为闭集,若A 为闭集,则由A A A A A ∂=∂=\\0,有
()
()
C C
C C C C C C C C C A A A A A A A A A A A ==∂=∂=∂=∂=)())(())(()(\0
故C A 为开集。
定理2.2.2任意个开集的并集是开集,有限个开集的交集是开集。
证:设αG (α∈I )为开集,令ααG G U I
∈=,则∀x ∈G ,I ∈∃β,使得βG x ∈。由β
G 为开集,知∃r >0,使得 G G x B ⊂⊂β)(r 从而x 为G 的内点,故G 为开集;又设k k G G n
1==,其中k G (k=1,2,…,n )为开集,则∀x ∈G,有x ∈k G (k=1,2,…,
n ).由k G 开,知∃k r >0,使得k r G x B k ⊂)(,故取 }{r min 1k n
k r ≤≤=,则有
G G x B k n
k r =⊂= 1
)(,从而有x 为G 的内点,故G 亦为开集。
3.稠密性(掌握概念)
设A,B 是距离空间X 的两个子集,则 (1)A 称为X 中的稠集,若A =X
(2)A 称为B 的稠子集,若A ⊂B ⊂A (3)A 称为在B 中稠密,若B ⊂A .
4.Cauchy 列(基本列)(掌握概念)
距离空间(X,d )中的点列{n x }称为Cauchy 列(或基本列),若∀0>ε,∃N ∈N,使当m,n >N 时,有d (n m x ,x )<ε (注意:0),(→⇔n m x x d (∞→n m ,) ) 定义2.5.2 距离空间(X,d )成为完备的,若X 中的任一Cauchy 列都收敛到X 中的一点。
5.完备
距离空间(X,d )称为完备的,若中的任一Cauchy 列都收敛到X 中的一点。
6.列紧集与紧集
设A 是距离空间X 的子集,若A 中的任一点列都有收敛子列,则称A 为列紧集;若A 中的任一点列都有收敛于A 的子列,则称A 为紧集。
7.压缩映射(重点 例题)
设(X,d )为距离空间,T :X →X 是X 到自身的一个自映射,若存在常数θ(0<θ<1),使对∀x,y ∈X ,有d (Tx,Ty )≤θd(x,y),则称T 为X 上的压缩映射。
8.不动点
对X 上的自映射T ,若∃*x ∈X ,使得T *x =*x ,则称*x 为T 的一个不动点
9.给出映射须证出为压缩映射
例3.6.1 设X=(0,1/4]是R 中的左开右闭区间,其上的距离按数的距离:F:X →X,定义为2)(F x x =,X x ∈∀,那么
),(2
1
)()()()(),(F 22y x y x y x y x y F x F y F x ρρ≤
-+≤-=-=)( ,X y x ∈∀, 则F 是X 上的一个收缩映射
课后例题1 设X=[1,∞+)是R 得子空间,X X →:T 定义为x
x x 1
2T +=,证明:T 是压缩映射并求出T 的不动点。
证明:设在X=[1,∞+)上有
2
1
121T 2'
≤-=x x )(,故T 是压缩映射 ;令x x =T 得x
x x 1
2+=
,计算的2±=x ,故T 在[1,∞+)上有唯一的不动点
2*=x
10.赋值空间
设X 是数域K 上的线性空间,若∀x ∈X ,都有一个实数||x||与之对应,使得∀x,y ∈X ,α∈K ,下列范数公理成立: (1)正定性:||x||≥0,||x||=0⇔x=0 (2)绝对齐次性:||αx||=|α| ||x|| (3)三角不等式:||x+y||≤||x||+||y||
则称||x||为x 的范数,X 为K 上的赋范空间,记作(X ,||·||) 例3.2.1∀x ∈R,定义||x||=|x|,则(R ,||·||)是赋范空间。
证明:o 1:有题知,显然有0≥=x x ,且00=⇔==x x x ,满足正定性 o 2:x x x x αααα===,满足绝对齐次性
o 3:设R ,∈y x ,∴y x y x y x +≤+=+,满足三角不等式, 所以(R ,||·||)是赋范空间。 例3.2.2∀x=(n x ,⋯,x 1)∈n R ,定义p
p
n
k k p
x 1
1
||X
)(∑==,1≤p <∞,
||max ||x ||1k n
k x ≤≤∞=,
则(p R ||.||,n )(1≤p ≤∞)均为赋范空间。 证明:1:有题意得:显然0||X
1
1
≥=∑=p
p
n
k k p
x )(,且
),..,2,1(00||X
1
1
n k x x k p
p
n
k k p
==⇔==∑=)( 满足正定性。
2:又因p
p
p
n
k
k p
p n
k
k
p
p
p
n
k k p
X
x x
x ααα
αα====∑∑∑=111
1
)(||X )()(满足绝对
齐次性。
3:设n n n R y y y y x x x x ∈==),...,,(),,...,,(2121,所以
p
p
p
n
k
p
k
p
n
k
p
k
p
p
k n
k
p
k
p
n
k p
k k p
y
x
y x y x y x +=+≤+≤+=+∑∑∑∑=1111
1
)()()]([||y x )(
满足三角不等式,综上所述,(p R ||.||,n )(1≤p ≤∞)均为赋范空间