《复变函数》第四版习题解答第1章

2）如果 R(z) 为 1）中的有理分式函数，但具有实系数，那么 R(z ) = X − iY ；
3）如果复数 a + ib 是实系数方程
a0 zn + a1zn−1 +" + an−1z + an = 0
的根，那么 a − ib 也是它的根。
证 1） R(z) = P(z) = P(z)Q(z) = Re(P(z)Q(z)) + Im(P(z)Q(z)) ;
+
2kπ
= − arctan 5 + 2kπ, 3
k = 0,±1,±2,".
（3）
(3
+
4i)(2
2i
−
5i)
=
(3
+
4i)(2 − (2i)(−
5i)(− 2i)
2i)
=
(26
−
7i)(−
4
2i)
所以
= −7 − 26i = − 7 −13i
2
2
Re⎨⎧ (3
+
4i)(2
−
5i)⎫
⎬
=
−
7
，
⎩ 2i ⎭ 2
= 2 i sin nt
14．求下列各式的值
( ) （1） 3 − i 5 ； （2） (1 + i)6 ； （3） 6 −1 ；
1
（4） (1 − i)3
( ) ( ) 解
（1）
3 − i 5 = ⎢⎢⎣⎡2⎜⎜⎝⎛
3 2
−
i 2
⎟⎟⎠⎞⎥⎥⎦⎤5
=
2e−iπ / 6 5 = 32e−i5π / 6
习题一解答
1．求下列复数的实部与虚部、共轭复数、模与辐角。
（1） 1 ； （2）1 − 3i ； （3） (3 + 4i)(2 − 5i) ；
3 + 2i
i 1−i
2i
解
（1）
1 3 + 2i
=
(3
+
3 − 2i
2i)(3 −
2i)
=
1 13
(3
−
2i)
所以
（4）i8 − 4i 21 + i
Re⎨⎧ ⎩3
故 n = 4k, k = 0, ±1, ±2,"。
16．（1）求方程 z3 + 8 = 0 的所有根 （2）求微分方程 y'''+8y = 0 的一般解。
( )1
π i
(1+
2k
)
解 （1） z = −8 3 = 2e 3 ，k=0,1,2。
即原方程有如下三个解：
1 + i 3, −2, 1 − i 3 。
（2）原方程的特征方程 λ3 + 8 = 0 有根 λ1 = 1 + 3 i ， λ2 = −2 ， λ3 = 1 − 3i ，故其 一般形式为
( ) y = C1e−2x + ex C2 cos 3x + C3 sin 3x
17．在平面上任意选一点 z ，然后在复平面上画出下列各点的位置：
−z, z,−z, 1 , 1 ,− 1 。 zz z
解：设 A = a1 + ib1 ， z1 = x1 + iy1 ， z = x + iy ，则有 1） z = z1 + A ；2） z = z1(cosα + i sinα ) = z1eiα 。
10．一个复数乘以-i，它的模与辐角有何改变？
( ) 解：设复数 z =| z | eiArgz ，则 z − i
3 = ei10ϕ /e−i9ϕ = ei19ϕ
3
= cos19ϕ + isin19ϕ
9．将下列坐标变换公式写成复数的形式：
1）平移公式：
⎧ ⎨ ⎩
x y
= =
x1 y1
+ +
a1, b1;
2）旋转公式：
⎧ ⎨ ⎩
x y
= =
x1 x1
cosα sin α
− +
y1 y1
sinα , cos α .
π 3
+
isin
π 3
⎟⎞ ⎠
=
i
2e
π 3
；
（4）1− cosϕ
+
isinϕ
=
2sin 2
ϕ 2
+ i2sin
ϕ 2
ϕ cos
2
=
2sin
ϕ 2
⎛ ⎜⎝
sin
ϕ 2
+
ϕ icos
2
⎞ ⎟⎠
=
2sin
ϕ
⎜⎛ cos
π
−ϕ
+ isin
π
−ϕ
⎟⎞
=
2sin
ϕ
i π−ϕ
e2
, (0
≤ϕ
≤
π)
；
2⎝ 2
2⎠
Im⎨⎧ ⎩
(3
+
4i)(2
2i
−
5i)⎫
⎬ ⎭
=
−13
，
1
⎡ ⎢ ⎣
(3
+
4i)(2
2i
−
5i)⎤
⎥ ⎦
=
−
7 2
+
l3i
(3 + 4i)(2 − 5i) = 5 29 ，
2i
2
Arg⎢⎣⎡
(3
+
4
i)(2
2i
−
5
i)⎤
⎥⎦
=
arg⎢⎣⎡
(3
+
4
i)(2
2i
−
5
i)⎤
⎥⎦
+
2kπ
=
2
arctan
Q(z) Q(z)Q(z)
q(x, y)
q(x, y)
2）
R(z )
=
P(z ) Q(z )
=
P(z) Q(z)
=
⎛ ⎜ ⎝
P(z) Q(z)
⎞ ⎟ ⎠
=
X
+ iY
=
X
− iY
;
3）事实上
( ) P z = a0 z n + a1z n−1 +" + an−1z + an
4
= a0 + a1z + a2z2 + " + an zn = P(z)
⎝ 12
12 ⎠
6 2ei5π / 4 = 6 2⎜⎛ cos 5π + i sin 5π ⎟⎞ 。
⎝4
4⎠
15．若 (1+ i)n = (1− i)n ，试求 n 的值。
5
解 由题意即 ( 2eiπ / 4 )n = ( 2e−iπ / 4 )n , einπ / 4 = e−inπ / 4 ， sin n π = 0 ， 4
1
i⎜⎛ − π +2kπ ⎟⎞ 3
2e−iπ/4 3 = 6 2e ⎝ 4 ⎠ ,
k = 0,1,2 。
可知 (1− i)1/3 的 3 个值分别是
6 2e−iπ / 2 = 6 2⎜⎛ cos π − i sin π ⎟⎞,
⎝ 12
12 ⎠
6 2ei7π /12 = 6 2⎜⎛ cos 7π + i sin 7π ⎟⎞,
26 7
−
π
+
Байду номын сангаас
2kπ
= arctan 26 + (2k −1)π ,
7
k = 0,±1,±2," .
( ) ( ) （4） i8 − 4i21 + i = i2 4 − 4 i2 10i + i = (−1)4 − 4(− )1 10i + i
所以
= 1 − 4i + i = 1 − 3i
{ } { } Re i8 − 4i21 + i = 1, Im i8 − 4i21 + i = −3
=
32
⎡ ⎢⎣cos
⎛ ⎜⎝
−
5π 6
⎞ ⎟⎠
+
isin
⎛ ⎜⎝
−
5π 6
⎞⎤ ⎟⎠⎥⎦
=
−16
3 −16i
( ) （2）(1+
i)6
=
⎡ ⎢
⎣
2
⎛ ⎜⎝
1+ 2
i 2
⎞⎤6 ⎟⎠⎥⎦
=
2eiπ /4 6 = 8e3πi/2 = −8i 。
1
( ) （3） 6 −1 = eiπ+2kπ 6 = eiπ(2k+1)/6 ,k = 0,1,2,3,4, 5 。可知 6 −1 的 6 个值分别是
=
arg a i
en
时，有
( ) | zn + a| =
⎜⎜⎝⎛
i
e
arg n
a
⎟⎞n ⎟⎠
+ |a|eiarg a
=
1+ a
ei arg a
= 1 + |a|
故1+ | a | 为所求。
8．将下列复数化成三角表示式和指数表示式。
（1）i；
（4）1− cosϕ + isinϕ(0 ≤ ϕ ≤ π) ；
1 +2
i
⎫ ⎬ ⎭
=
3 13
，
Im⎨⎧ ⎩3
1 + 2i
⎫ ⎬ ⎭
=
−
2 13
,
1 = 1 (3 + 2i) ， 1 = ⎜⎛ 3 ⎟⎞ 2 + ⎜⎛ − 3 ⎟⎞2 = 13 ，
3 + 2i 13
3 + 2i ⎝ 13 ⎠ ⎝ 13 ⎠ 13
Arg⎜⎛ ⎝
3
1 +2
i
⎟⎞ ⎠
=
arg⎜⎛ ⎝
3
1 +2
i
⎟⎞ ⎠
+
2kπ
= − arctan 2 + 2kπ , k = 0,±1,±2," 3
（2）
1 i
−
3i 1−i
=
−i
i(− i)
−
3i(1 + i) (1 − i)(1 + i)
=
−i
−
1 2
(−
3
+
3i)
=
3 2
−
5 2
i,
所以
Re⎩⎨⎧1i
−
3i 1−i
⎫ ⎬ ⎭
=
3 2
,
Im⎩⎨⎧1i
−
=|
z
|
ei Arg z
⋅
−i π
e2
i⎜⎛ Arg z− π
= |z|e ⎝ 2
⎟⎞ ⎠
，可知复数的模不变，
辐角减少 π 。 2
11．证明：| z1 + z2 |2 + | z1 − z2 |2 = 2(| z1 |2 + | z2 |2 ) ，并说明其几何意义。
证明： | z1 + z2 |2 + | z1 − z2 |2 = (z1 + z2 )(z1 + z2 ) + (z1 − z2 )(z1 − z2 )
（2）-1； （5） 2i ；
−1+ i
（3）1+ 3 i；
（6）((ccooss53ϕϕ
+ −
isin5ϕ isin3ϕ
)2 )3
解：（1） i
=
cos
π
+
isin
π
=
π i
e2
；
2
2
（2） −1 = cosπ + isinπ = eiπ
（3）1 + i
3
=
2⎜⎜⎝⎛
1 2
+
i
3 2
⎟⎞ ⎟⎠
=
2⎜⎛ cos ⎝
34
= 1 [5x + 3y − 4]+ i(− 3x + 5y −18) = 1 + i
34
比较等式两端的实、虚部，得
⎧ 5x + 3y − 4 = 34 ⎩⎨− 3x + 5y −18 = 34
或
⎧ 5x + 3y = 38 ⎩⎨− 3x + 5y = 52
解得 x = 1, y = 11 。
3．证明虚单位 i 有这样的性质：-i=i-1= i 。
13．如果 z = eit ，试证明
（1） zn
+
1 zn
= 2cos nt
；
（2） zn − 1 = 2 i sin nt zn
解 （1） zn + 1 = eint + e−int = eint + eint = 2sin nt zn
（2） zn
−
1 zn
= eint
− e−int
= eint
− eint
y
1
−z
z
z
o
x
-z
z
−1
1
z
z
18．已知两点 z1 与 z2 （或已知三点 z1, z2 , z3 ）问下列各点位于何处？
（1）
z
=
1 2
(z1
+
z2
)
（2） z = λz1 + (1 − λ )z2 （其中 λ 为实数）；
（3）
z
=
1 3
= 2(z1 z1 + z2 z2 ) = 2(| z1 |2 + | z2 |2 )
其几何意义平行四边形的对角线长度平方的和等于四个边的平方的和。
12．证明下列各题：
1）任何有理分式函数 R(z) = P(z) 可以化为 X + iY 的形式，其中 X 与Y 为具 Q(z)
有实系数的 x 与 y 的有理分式函数；
4．证明
1) | z |2 = zz #
6) Re(z) = 1 (z + z), Im(z) = 1 (z − z )
2
2i
2
证明：可设 z = x + iy ，然后代入逐项验证。
5．对任何 z ， z2 =| z |2 是否成立？如果是，就给出证明。如果不是，对 z 那些
值才成立？
解：设 z = x + iy ，则要使 z2 =| z |2 成立有
eiπ/6 = 3 + i , eiπ/2 = i ， eii5π/6 = − 3 + i
22
22
ei7π/6 = − 3 − i ， ei3π/2 = − i ， ei11π/4 = 3 − i 。
22
22
1
( ) ( ) （4）
1−i
1 3
=
⎡ ⎢
⎣
2 ⎜⎜⎝⎛
1− 2
i 2
⎟⎟⎠⎞⎥⎦⎤ 3
=
x2 − y2 + 2ixy = x2 + y2 ，即 x2 − y2 = x2 + y2 , xy = 0 。由此可得 z 为实数。
6．当 | z |≤ 1 时，求 | zn + a | 的最大值，其中 n 为正整数，a 为复数。
解：由于
zn
+
a
≤ |z|n
+ |a| ≤ 1 + |a| ，且当
z
2
（5） 2i = 1 2i(−1 − i) = 1 − i =
−1+i 2
2 ⎜⎜⎝⎛
1 −i 2
1 2
⎟⎟⎠⎞
= 2⎜⎛ cos π − isin π ⎟⎞
⎝4
4⎠
−i π
= 2e 4
( ) ( ) (( )) （6）
cos5ϕ + isin5ϕ cos3ϕ − isin3ϕ
2
=
3
ei5ϕ
2
/
e−i3ϕ
3i 1−
i
⎫ ⎬ ⎭
=
−
5 2
⎜⎛ 1 − 3i ⎟⎞ = 3 + i 5 ， 1 − 3i = ⎜⎛ 3 ⎟⎞2 + ⎜⎛ − 5 ⎟⎞2 = 34 ， ⎝ i 1−i⎠ 2 2 i 1−i ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ 2
Arg⎜⎛ ⎝
1 i
−
3i 1−i
⎟⎞ ⎠
=
arg⎜⎛ ⎝
1 i
−
3i 1−
i
⎟⎞ ⎠
2．如果等式 x + 1 + i(y − 3) = 1 + i 成立，试求实数 x, y 为何值。
5 + 3i
解：由于
x
+
1+ i(y
5 + 3i
−
3)
=
[x
+1 + i(y − 3)](5 − (5 + 3i)(5 − 3i)
3i)
= 5(x +1)+ 3(y − 3)+ i[− 3(x +1)+ 5(y − 3)]
⎜⎝⎛i8 − 4i21 + i⎟⎠⎞ = 1 + 3i ， | i8 − 4i21 + i |= 10
( ) ( ) Arg i8 − 4i21 + i = arg i8 − 4i21 + i + 2kπ = arg(1 − 3i) + 2kπ
= −arctan3 + 2kπ k = 0,±1,±2,".