导数-双变量问题
1.构造函数利用单调性证明
2.任意性与存在性问题
3.整体换元—双变单
4.极值点偏移
5.赋值法
构造函数利用单调性证明
形式如：1212|()()|||f x f x m x x -≥-
方法：将相同变量移到一边，构造函数
1. 已知函数239()()(24
f x x x =++）对任意[]12,1,0x x ∈-，不等式12|()()|f x f x m -≤恒成立，试求m 的取值范围。
2.已知函数2()(1)ln 1f x a x ax =+++.设1a <-,如果对12,(0,)x x ∀∈+∞,有1212|()()|4||f x f x x x -≥-,求实数a 的取值范围.
3.已知函数2)1ln()(x x a x f -+=区间)1,0(内任取两个实数q p ,，且q p ≠时，若不等式
1)1()1(>-+-+q
p q f p f 恒成立，求实数a 的取值范围。
4.已知函数21()2ln (2),2
f x x a x a x a R =-+-∈．是否存在实数a ，对任意的 ()12,0,x x ∈+∞，且21x x ≠，有
2121()()f x f x a x x ->-，恒成立，若存在求出a 的取值范围，若不存在，说明理由．
练习1：已知函数2
()ln =+f x a x x ,若0>a ,且对任意的12,[1,]∈x x e ，都有1212
11|()()||
|-<-f x f x x x ,求实数a 的取值范围．
练习2.设函数()ln ,m f x x m R x =+∈.若对任意()()0,1f b f a b a b a
->><-恒成立， 求m 的取值范围.
5.已知函数()21()1ln ,12
f x x ax a x a =-+-> （1）讨论函数的单调性
（2）证明：若5a <，则对任意的()12,0,x x ∈+∞，且21x x ≠，有2121
()()1f x f x x x ->--恒
成立
6.设函数()2mx f x e x mx =+-
（1）证明：()f x 在(),0-∞单调递减，在()0,+∞单调递增；
（2）若对于任意[]12,1,1x x ∈-，都有12|()()|e 1f x f x -≤-，求m 的取值范围。
任意与存在性问题
1. 已知函数()2
a f x x x
=+，()ln g x x x =+，其中0a >． （1）若函数()x f y =在[]e ,1上的图像恒在()x g y =的上方，求实数a 的取值范围．
（2）若对任意的[]12,1x x e ∈，（e 为自然对数的底数）都有()1f x ≥()2g x 成立，
求实数a 的取值范围．
2.已知函数321()313f x x x x =+-+，
2()2g x x x a =-++ （1）讨论方程()f x k =（k 为常数）的实根的个数。
（2）若对任意
[]0,2x ∈，恒有()f x a ≥成立，求a 的取值范围。 （3）若对任意
[]0,2x ∈，恒有()()f x g x ≥成立，求a 的取值范围。 （4）若对任意
[]10,2x ∈，存在[]20,2x ∈，恒有()12()f x g x ≥成立，求a 的取值范围。
整体换元——双变单
1. 已知函数2()ln .f x ax x =+
（Ⅰ）求()f x 的单调区间；
（Ⅱ）当0a =时，设斜率为k 的直线与函数()y f x =相交于两点1122(,)(,)A x y B x y 、 21()x x >，求证：121x x k <
<．
练习1. 已知函数为常数其中且a a a x x g x x x f a ),1,0(log )(,22
1)(2≠>=-=，如果 )()()(x g x f x h +=在其定义域上是增函数，
且()h x '存在零点（()()h x h x '为的导函数）． （I ）求a 的值；
（II ）设(,()),(,())()A m g m B n g n m n <是函数()y g x =的图象上两点，
0()()()g n g m g x n m
-'=
-0(()()),:.g x g x m x n '<<为的导函数证明
练习2. 已知函数21()ln 1,()2
a f x x ax g x x -=-+=，a R ∈； （1）已知2a <，()()()h x f x g x =+，求()h x 的单调区间；
（2）已知1a =，若1201x x <<<，211221()()()()f x f x f t x t x x x -'=
<<-，求证：122
x x t +<
练习3.已知函数(),x
f x e x R =∈，设a b <，比较()()2f a f b +与()()f b f a b a --的大小，并说明理由。
2. 已知函数()()x a x x f -+=ln 有且只有一个零点，其中a ＞0.
（Ⅰ）求a 的值；
（II ）设()()x x f x h +=，对任意()()2121,1,x x x x ≠+∞-∈，证明：不等式
()()
121212121+++--x x x x x h x h x x ＞恒成立.
3.已知2()2ln f x x x ax =-+在(0,)+∞内有两个零点12,x x ，求证：'12(
)02
x x f +<。
练习.已知函数f (x )＝ln x －mx （m ∈R ），若函数f (x )有两个不同的零点x 1，x 2，求证：x 1x 2＞e 2．
