人教版九年级数学上册第22章二次函数知识点总结

人教版九年级数学二次函数在中考中知识点总结

一、相关概念及定义

1 二次函数的概念：一般地，形如y ax

2 bx c（a，b ，c是常数， a 0 ）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数 a 0 ，而b，c 可以为零．二次函数的定义域是全体实数．

2

2 二次函数y ax2 bx c 的结构特征：（1）等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．（2）a，b，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．

二、二次函数各种形式之间的变换

1 二次函数y ax

2 bx c 用配方法可化成：y a x h 2 k 的形式，其中

b 4a

c b2

h ，k .

2a 4a

2 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：① y ax2；② y ax2 k ；

③ y a x h 2；④ y a x h 2 k；⑤ y ax2 bx c.

三、二次函数解析式的表示方法

1 一般式：y ax

2 bx c（ a ， b ，c为常数， a 0）；

2 顶点式：y a（x h）2 k（a，h，k为常数， a 0）；

3 两根式：y a（x x1）（x x2）（ a 0，x1 ，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）.

4 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次

函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即b2 4ac 0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.

四、二次函数y ax2 bx c 图象的画法

1 五点绘图法：利用配方法将二次函数y ax

2 bx c 化为顶点式y a（x h）2 k ，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图. 一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点0，c 、以及0，c 关于对称轴对称的点2h，c 、与x轴的交点x1，0 ，x2，0 （若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.

2 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y 轴的交点.

五、二次函数y ax2的性质

六、二次函数y ax2 c

七、二次函数y a x h 2

八、二次函数y a x h 2 k

九、抛物线y ax2 bx c 的三要素：开口方向、对称轴、顶点.

1 a 的符号决定抛物线的开口方向：当 a 0 时，开口向上；当 a 0时，开口向下；

相等，抛物线的开口大小、形状相同

4 顶点决定抛物线的位置 . 几个不同的二次函数，如果二次项系数 a 相同，那么抛 物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同 .

十、抛物线 y ax 2 bx c 中， a,b,c 与函数图像的关系

1 二次项系数 a

二次函数 y ax 2 bx c 中， a 作为二次项系数，显然 a 0．

⑴ 当 a 0 时，抛物线开口向上， a 越大，开口越小，反之 a 的值越小，开口越 大；

⑵ 当 a 0 时，抛物线开口向下， a 越小，开口越小，反之 a 的值越大，开口越 大．

总结起来， a 决定了抛物线开口的大小和方向， a 的正负决定开口方向， a 的 大小决定开口的大小．

2 一次项系数 b 在二次项系数 a 确定的前提下， b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在 a 0 的前提下，

当 b 0 时， b 0 ，即抛物线的对称轴在 y 轴左侧；

2a

当 b 0时， b 0 ，即抛物线的对称轴就是 y 轴；

2a

当 b 0 时， b 0 ，即抛物线对称轴在 y 轴的右侧．

2a

⑵ 在 a 0 的前提下，结论刚好与上述相反，即

当 b 0 时， b 0 ，即抛物线的对称轴在 y 轴右侧；

2a

当 b 0时， b 0 ，即抛物线的对称轴就是 y 轴；

2a

当 b 0 时， b 0 ，即抛物线对称轴在 y 轴的左侧．

2a 总结起来，在 a 确定的前提下， b 决定了抛物线对称轴

的位置． 总结： 3 常数项 c

⑴ 当 c 0时，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方，即抛物线与 y 轴交点的纵 坐标为正；

⑵ 当 c 0时，抛物线与 y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与 y 轴交点的纵 坐标为 0 ；

⑶ 当 c 0时，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方，即抛物线与 y 轴交点的纵 坐标为负．

总结起来， c 决定了抛物线与 y 轴交点的位置．

总之，只要 a ，b ，c 都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． 十一、求抛物线的顶点、对称轴的方法

2 对称轴：平行于 y 轴（或重合）的直线记作 x 2a .特别地， y 轴记作直线 x 0.

3 顶点坐标：

2b

a ，

4ac b 2

4a

1 公式

法： 2

2 2

2 b 4ac b

2

b 4a

c b 2

y ax 2

bx c a x ，∴顶点是（

，

），

2a 4a 2a 4a

对称轴是直线 x .

2a

2 配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为 y a x h 2 k 的形式，得 到顶点

为 ( h , k )，对称轴是直线 x h.

3 运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴 的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点 .

用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失 . 十二、用待定系数法求二次函数的解析式

1 一般式： y ax

2 bx c .已知图像上三点或三对 x 、 y 的值，通常选择一般式 2 顶点式： y a x h 2 k .已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式 .

3 交 点 式 ： 已 知 图 像 与 x 轴 的 交 点 坐 标 x 1 、 x 2 ， 通 常 选 用 交

点 式 ：

y a x x 1 x x 2 .

十三、直线与抛物线的交点

1y 轴与抛物线 y ax 2 bx c 得交点为 (0, c ).

2 与 y 轴 平 行 的 直 线 x h 与 抛 物 线 y ax 2 bx c 有 且 只 有 一 个 交 点 (h,ah 2 bh c ).

3 抛物线与 x 轴的交点 :二次函数 y ax 2 bx c 的图像与 x 轴的两个交点的横坐 标

x 1、x 2 ，是对应一元二次方程 ax 2 bx c 0的两个实数根 .抛物线与 x 轴的交 点情况

可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：

①有两个交点 0 抛物线与 x 轴相交； ②有一个交点(顶点在 x 轴上) 0 抛物线与 x 轴相切； ③没有交点 0 抛物线与 x 轴相离 .

4 平行于 x 轴的直线与抛物线的交点

可能有 0 个交点、 1 个交点、 2 个交点 .当有 2 个交点时，两交点的纵坐标 相等，设纵坐标为 k ，则横坐标是 ax 2 bx c k 的两个实数根 .

5 一次函数 y kx n k 0 的图像 l 与二次函数 y ax 2 bx c a 0 的图像 G y kx n 的交点，由方程组 2 的解的数目来确定：①方程组有两组不同的

y a 2x bx c

解时 l 与 G 有两个交点 ; ②方程组只有一组解时

l 与 G 只有一个交点；③方

程组无解时 l 与 G 没有交点 .

6 抛物线与 x 轴两交点之间的距离：若抛物线 y ax 2 bx c 与 x 轴两交点为 A x 1，

0 ，B x 2，0 ，由于 x 1、 x 2是方程 ax 2 bx c 0 的两个根，故

x 1 x 2

b

,x 1 x 2 c aa

十四、二次函数图象的对称 :二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般 式或顶点式表达 1 关于 x 轴对称

AB x 1 x 2

x 1 x 2 2

4x 1x 2

4c b 2 4ac aaa