数列知识点总结与题型归纳总结

一、数列的概念

(1) 数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列； 数列中的每个数都叫这个数列的项。记作

a n ，在数列第一个位置的项叫第

1项(或首项)，在第二个位

置的叫第2项，……，序号为 n 的项叫第n 项(也叫通项)记作 a n ； 数列的一般形式：a 1, a 2, a 3, , a n , ，简记作

1a n

?。

例：判断下列各组元素能否构成数列

(1) a, -3, -1, 1, b, 5, 7, 9;

(2) 2010年各省参加高考的考生人数。 (2) 通项公式的定义：如果数列

叫这个数列的通项公式。

例如：①：1 , 2 , 3 , 4, 5

② :

① :a n [表示数列，a n 表示数列中的第n 项，a n = f n 表示数列的通项公式； [_1 门=2k _1 ② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如，a n = (-1)n =

' (k ・Z); k +1, n=2k

③ 不是每个数列都有通项公式。例如， 1 , 1.4 , 1.41 , 1.414 ,…… (3) 数列的函数特征与图象表示： 序号：1 2 3 4 5 6 项：4 5 6 7 8 9

上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。

从函数观点看，数列

实质上是定义域为正整数集

N .(或它的有限子集)的函数 f (n)当自变量n 从1开始依次取值时对应的一系列

函数值f(1),f(2), f(3),……,f(n),……•通常用a n 来代替f n ，其图象是一群孤立点。

例：画出数列a n =2n 1的图像.

(4) 数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项

与项之间的大小关 系分：单调数列(递增数列、递减数列) 、常数列和摆动数列。

例：下列的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？ (1) 1 , 2, 3, 4, 5, 6,… (2)10, 9, 8, 7, 6, 5, …

(3) 1,0, 1,0, 1,0,

…

(4)a, a, a, a, a,

…

例：已知数列｛a n ｝的前n 项和S n = 2n 2 • 3，求数列｛a n ｝的通项公式

高三总复习-—

数列

｛a .｝的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就

数列①的通项公式是 数列②的通项公式是 说明：

a n = n ( n — 7 , n N .),

a n = 1

( n • N .)o

n

(5)数列｛ a n ｝的前n 项和S n 与通项a n 的关系：a n

S 1

(n = 1)

S-SU n > 2)

(1)

5.观察下列各图，并阅读下面的文字，像这样,

10条直线相交，交点的个数最多是（

，其通项公式

2条直线相 交，最多有 1 个交点

3条直线相 交，最多有3 个交点

4条直线相 交，最多有6 个交点

练习：

1 •根据数列前4项，写出它的通项公式:

(6)8, 88, 888, 8888

(1)与出

a i, , a 2, a 3, a n i , a n 2

；

2

（2） 792是否是数列中的项？若是，是第几项?

3

3• （2003京春理14,文15）在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表 观察表中数据的特点，用适当的数填入表中空白（

____ ）内。

30

35 40 45

50 55 60

6S 收堀压 ＜水锦桂

110 115

120 125

13S

< > 14S 訐张压（:水輾桂

70

73

75

73

80

83

(

)

38

根据下面的图形及相应的点数，在空格及括号中分别填上适当的图形和数，写出点数的通项公式

(1) 1 , 3, 22

-1 5, 7……;

32

-1 42

-1 (2)

2 3 4

1

1 1

(3)

1*2 2*3 3*4

(4) 9, 99,

999, 9999…

52 -1 5

1 4*5~ °

2 •数列注［中，已知a n

3 Jn N )

(5) 7，77, 777, 7777,

(7)

45个 55个

二、等差数列

题型一、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这

个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。用递推公式表示为a n -a n 丄=d(n 一2)或a. .1 -a* =d(n 一1)。

例：等差数列a n 2n—1，a^ —a n j ：

题型二、等差数列的通项公式：a^a1 - (n -1)d ；

说明：等差数列(通常可称为 A P数列)的单调性：d 0为递增数列，d=0为常数列，d：：：0为递减数列。

例：1.已知等差数列an，中，a7飞9=16, a4 =1,则a12等于( )

A. 15 B . 30 C . 31 D . 64

2. ｛a n｝是首项a1 =1，公差d =3的等差数列，如果a^ 2005，则序号n等于

(A) 667 ( B) 668 (C) 669 (D) 670

3. 等差数列a n =2n - 1,b n二―2n 1，则a n为 ____________________ b n为________________ (填“递增数列”或“递减数列”)

题型三、等差中项的概念：

定义：如果a , A, b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。其中

2

a + b

a, A, b成等差数列= A 即卩：2a n .1 二a n • a n -2 ( 2a n 二a n_m • a n m )

2

例：1. (14全国I )设｛耳｝是公差为正数的等差数列，若a1+a2+a3=15 , a1a2a^80 ,则a〔栢Ja = ()

A. 120 B . 105 c. 90 D . 75

2. 设数列｛a n｝是单调递增的等差数列，前三项的和为12,前三项的积为48,则它的首项是( )

A. 1

B.2

C.4

D.8

题型四、等差数列的性质：

(1) 在等差数列订,中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；

(2) 在等差数列:a/f中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列；

(3) 在等差数列1a n中，对任意m , n • N ., a^a m ' (n -m)d , d =色一a m (m = n);

n -m

(4) 在等差数列g n中，若m , n , p , q • N .且m • n = p q，则a m ' a^ a p ■ a q；

题型五、等差数列的前n和的求和公式：s n二n(a1 an)二nar^ 二丄n2( a^-) n。

2 2 2 2

(S n = An2 Bn (代B为常数)=乩:堤等差数列)

递推公式：

(a〔+a n)n (a m * a n 4m 4) )n S n

2 2