第二章 数值分析
2.1 已知多项式432()1p x x x x x =-+-+通过下列点：
试构造一多项式()q x 通过下列点：
答案：54313
()()()3122
q x p x r x x x x x =-=-
++-+． 2.2 观测得到二次多项式2()p x 的值：
表中2()p x 的某一个函数值有错误，试找出并校正它．
答案：函数值表中2(1)p -错误，应有2(1)0p -=．
2.3 利用差分的性质证明22212(1)(21)/6n n n n +++=++ ．
2.4 当用等距节点的分段二次插值多项式在区间[1,1]-近似函数x
e 时，使用多少个节点能够保证误差不超过
61
102
-⨯． 答案：需要143个插值节点．
2.5 设被插值函数4()[,]f x C a b ∈，()
3()h H x 是()f x 关于等距节点
01n a x x x b =<<<= 的分段三次艾尔米特插值多项式，步长b a
h n
-=
．试估计()3||()()||h f x H x ∞-．
答案：()
4
43||()()||384
h M f x H x h ∞-≤．
第三章 函数逼近
3.1 求()sin ,[0,0.1]f x x x =∈在空间2
{1,,}span x x Φ=上最佳平方逼近多项式，并给
出平方误差．
答案：()sin f x x =的二次最佳平方逼近多项式为
-522sin ()0.832 440 710 1.000 999 10.024 985 1x p x x x ≈=-⨯+-，
二次最佳平方逼近的平方误差为
0.1
22-1220
(sin )())0.989 310 710x p x dx δ=-=⨯⎰．
3.2 确定参数,a b c 和，使得积分
2
1
2
1
(,,)[I a b c ax bx c -=++-⎰取最小值．
答案：810, 0, 33a b c ππ
=-
== 3.3 求多项式432()251f x x x x =+++在[1,1]-上的３次最佳一致逼近多项式
()p x ．
答案：()f x 的最佳一致逼近多项式为3
2
3
()74
p x x x =++
． 3.4 用幂级数缩合方法，求() (11)x f x e x =-≤≤上的３次近似多项式6,3()p x ，并估计6,3||()()||f x p x ∞-．
答案：
236,3()0.994 574 650.997 395 830.542 968 750.177 083 33p x x x x =+++， 6,3||()()||0.006 572 327 7f x p x ∞-≤
3.5 求() (11)x
f x e x =-≤≤上的关于权函数
()x ρ=
的三次最佳平方逼近
多项式3()S x ，并估计误差32||()()||f x S x -和3||()()||f x S x ∞-．
答案：233()0.994 5710.997 3080.542 9910.177 347S x x x x =+++，
32||()()||0.006 894 83f x S x -=，3||()()||0.006 442 575f x S x ∞-≤．
第四章 数值积分与数值微分
4.1 用梯形公式、辛浦生公式和柯特斯公式分别计算积分1
(1,2,3,4)n x dx n =⎰
，并与
精确值比较．
答案：计算结果如下表所示
4.2 确定下列求积公式中的待定参数，使得求积公式的代数精度尽量高，并指明所确定的求积公式具有的代数精度． （１）101()()(0)()h
h f x dx A f h A f A f h --≈-++⎰
（２）
1
121
1
()[(1)2()3()]3
f x dx f f x f x -≈-++⎰ （３）2
0()[(0)()][(0)()]2
h h f x dx f f h h f f h α''≈++-⎰
答案：（１）具有三次代数精确度（２）具有二次代数精确度（３）具有三次代数精确度．
4.3 设10h x x =-，确定求积公式
1
2300101()()[()()][()()][]x x x x f x dx h Af x Bf x h Cf x Df x R f ''-=++++⎰
中的待定参数,,,A B C D ，使得该求积公式的代数精确度尽量高，并给出余项表达式．
答案：3711,,,20203020A B C D ====-，(4)6
()[]1440
f R f h η=，其中01(,)x x η∈．
4.4 设2()P x 是以0,,2h h 为插值点的()f x 的二次插值多项式，用2()P x 导出计算积分
30()h
I f x dx =⎰
的数值积分公式h I ，并用台劳展开法证明：453
(0)()8
h I I h f O h '''-=+． 答案：3203()[(0)3(2)]4
h h I p x dx h f f h ==+⎰．
4.5 给定积分1
0sin x
I dx x =
⎰
（１）运用复化梯形公式计算上述积分值，使其截断误差不超过
31
102
-⨯． （２）取同样的求积节点，改用复化辛浦生公式计算时，截断误差是多少？
（３）要求的截断误差不超过6
10-，若用复化辛浦生公式，应取多少个节点处的函数值？ 答案：（１）只需7.5n ≥，取９个节点，0.946I ≈
（２）4(4)46111
|[]||()|()0.271102880288045
n b a R f h f η--=-≤=⨯ （３）取７个节点处的函数值．
4.6 用变步长的复化梯形公式和变步长的复化辛浦生公式计算积分1
0sin x
I dx x =⎰．要
求用事后误差估计法时，截断误不超过
31102-⨯和61
102
-⨯． 答案：使用复化梯形公式时，80.946I T ≈=满足精度要求；使用复化辛浦生公式时，
40.946 083I s ≈=满足精度要求．
4.7（１）利用埃尔米特插值公式推导带有导数值的求积公式
