螺旋桨的气动设计和参数化思考
1 依据空气动力学螺旋桨理论设计螺旋桨
在本文中，我们将会考虑螺旋桨在轴向产生推力。
桨叶有可变的曲线和扭转角，在改进中，毛边轴被假定为直线并位于平面中。
采用的空气动力学理论基于经典结论[1]、[2],从涡流理论，机翼理论和动量理论的积分获得。
当采用涡流理论后，螺旋桨推力和扭矩被表示为沿桨叶周向的方程。
具有最小能量耗散的推力分布是通过变分法来获得的，采用普朗特简化方法[3]。
如果机翼理论被选来表示桨叶空气动力学的行为，推力和扭矩可以从作用于桨叶无穷小单元上的基本升力和阻力的积分获得。
诱导速度的计算是局部结合机翼理论和能量守恒原理。
1.1 涡流理论
表1表示一类桨叶单元。
接下来文中用到的符号的意思可以在相关术语里找到，这些术语被表示在同一张图表中。
流过一个给定的截面的实际速度E V ,是由表观速度的矢量和A V 给出，同时考虑到截面中诱导速度的增量D u 。
A V 是前缘速度之和V 和截面的转动速度r Ω。
考虑位于沿叶片翼展位r 的桨叶单元dr，根据普朗特近似循环()r Γ可表示为：
222exp 12p p r k n
n r k R πωπΓ=⎧⎡⎪⎛⎫=--⎨ ⎪⎢⎝⎭⎣⎪⎩ 推力，扭矩和螺旋桨耗散的能量可以从沿单个叶片的单元积分与桨叶数量相乘后得到。
给出桨叶单元，空气动力单位力A d F ,推力dT,扭矩dM 和每秒最小耗散能量dPdf
分别通过下列式子给出：
()cos sin r sin cos A E E E d E d dr
V F dT dr
V dM rdr
V d V dr
V P ρρδρδρδδ=Γ=Γ=Γ=ΓΩ-
变分法要求最佳循环分布()r Γ的测定对于给定的推力T 要使能量损失最小化。
令-KV 为拉格朗日因子，推力与能量损耗的线性组合的导数为0。
相对于循环分布()r Γ求解所得方程，获得最小能量损失的条件： ()tan 1V K r
δ=+Ω 位于螺旋桨水平位置坐标r 处截面的循环分布，实际速度和诱导速度可以通过下式表示：
4cos sin p r KV k n
πδδΓ= 21cos cos sin E r r K V V ωδδδ
Ω-+== 2sin cos tan 1cos D i E
K K V u δδαδ==+ 给出n,T,V,Ω和R，拉格朗日乘积算子可通过两种不同方途径获得： a)通过隐式方程的数值求解
()
⎰+=R P rdr k K K V T 021124 πρ 其中
()22111K r V K
K +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=Ω
b)通过相对第一阶项尽可能的忽略K2，这样简化方程的方式来获得，当∣K ∣<< 1时，就有：
2
14 V F T K πρ=
其中
()()dr F R r V r k r P ⎰
+=01222ΩΩ
1.2机翼理论 如引言中所述，机翼理论使得推力的计算以及扭矩的获得，通过作用于桨叶无穷小单元dr 处的气动力积分，当螺旋桨在给定的一个操作条件下。
在这种情况下单元推力和扭矩可以表示为：
()dr l c c V dT d l E sin cos 2
12δδρ-= ()dr r l c c V dM d l E cos sin 212δδρ+=
实际速度和诱导速度的获得等同于，从涡流理论和机翼理论推导获得螺旋桨推力的表达式。
结果表达式为：
i i A E V r V V V αΩαcos 1cos 2
⎪⎭
⎫ ⎝⎛+== δδδδπαcos sin sin cos 8tan d l P i c c rk nl -= 2 无量纲系数和独立参数
推进比γ，推力系数τ，扭矩系数χ，和螺旋桨效率因子η被定义为下列式子：
R
V Ωγ= 42 R
T Ωρτ= 5
2 R M Ωρχ= χτγη==
P TV 推力和扭矩系数可以表示为带有6个独立参数的方程，例如：
()c R V ,,,,,μρΩττ=
()c R V ,,,,,μρΩχχ=
如果我们应用Buckingam 的理论，就无量纲参数而言，我们可以得到如下关系式：
()Ma Re c V VR R V ,,,,γτμρΩττ=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛= ()Ma Re c V VR R V ,,,,γχμρΩχχ=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛= 其中Ma 是螺旋桨不受干扰时上缘流动的马赫数，Re 是雷诺数，以螺旋桨半径R 为基准。
我们假设Re 和Ma 对τ 和 χ的影响，只是由于它们影响了每个桨叶截面的气动系数，例如：每个翼型的气动特性。
最后我们将介绍如下的无量纲量：
R
r =ξ R l b = V
V V E E =ˆ Re b V l V =Re E E ⋅=ˆν
ξ Ma V c V Ma E E ⋅==
ˆξ 其中 ξ 是沿桨叶半径的无量纲坐标，b 是桨叶截面曲线的无量纲量，E
V ˆ 是给定桨叶截面的无量纲实际速度，Re ξ 和 Ma ξ 分别表示当地的雷诺数和马赫数。
