湖南大学研究生
课程考试命题专用纸
考试科目： 工程数学 专业年级：2011级专业型硕士研究生 考试形式：闭卷(可用计算器) 考试时间： 120分钟
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注：答题（包括填空题、选择题）必须答在专用答卷纸上，否则无效。
一． 填空题（每小题5分，共30分）
1. 用
355
113
作为圆周率 3.14159265π=L 的近似值时，有 位有效数字。 2. 2()(5),x x x ϕα=+- 要使迭代法1()k k x x ϕ+=
局部收敛到*x = 则α的取值范围是 . 3. 若12,21A ⎡⎤=⎢
⎥⎣⎦
则谱条件数1
222
()Cond A A A -=⋅= . 4. 设01,,,n x x x L 为1n +个互异的插值节点，()
()(0,1,,)()
j i j i
i
j
x x l x i n x x ≠-==-∏L 为拉
格朗日插值基函数，则 1
(0)n
n i i i l x +==∑ . 5. 已知实验数据
则拟合这组数据的直线为y = . 6. 要使求积公式
1110
1
()(0)()4
f x dx f A f x ≈
+⎰
具有2次代数精度，则 1x = ， 1A =
二． ( 11分) 给定方程32()360.f x x x =+-=
(1) 证明该方程在区间(1,2)内存在唯一实根*;x
(2) 用牛顿迭代法求出*x 的近似值，取初值0 1.5,x = 要求5110.k k x x -+-< 三．( 10分) 用高斯列主元素消去法解线性方程组
123123201128.2419x x x --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢
⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
四．(10分) 给定线性方程组
12321111111,1121x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢
⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
写出求解该方程组的雅可比迭代格式，并分析雅可比迭代法的收敛性。
五．(13分) 试根据数表
构造Hermite (埃尔米特)插值多项式().H x 六．(10分) 求常数,αβ使积分
()12
20
x e x x dx αβ--⎰
取最小值。
七．(16分) 用龙贝格方法求积分
31
1
I dx x
=⎰
的近似值，要求误差不超过310.-
工程数学试题参考答案
一． (1) 7 ; (2) ⎪
⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-
0,51
; (3) 3 ; (4) n n
x x x Λ10)1(- ;
(5) x 4.19.0+ ; (6) .4
3,3211
=
=A x
二． 解. (1) 因为
,)])2,1[(063)(,014)2(,02)1(,]2,1[)(2∈∀>+='>=<-=∈x x x x f f f C x f 所以由零
点定理和单调性知原方程在)2,1(内存在唯一实根.*x (4分)
(2) 牛顿迭代格式为 .,2,1,0,6363263632
2
32231
Λ=+++=+-+-=+k x x x x x x x x x x k
k k k k k k k k k (7分) 取初值,5.10=x 计算结果如下：
5*43410, 1.195823.x x x x --<≈= (11分)
三．解. 12320241911281128241912320--⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥--→--⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦ (2分) 24195703
2254904
22⎡
⎤⎢⎥
⎢
⎥⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣
⎦(4分) 241954904
225
70322⎡
⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣
⎦
(5分) 24195
4904
223517500
88⎡
⎤⎢⎥⎢
⎥⎢⎥→--⎢⎥⎢⎥
⎢⎥-
⎣
⎦
(7分)
等价的上三角形方程组为
123233249,5494,2235175.88x x x x x x ⎧
⎪++=⎪
⎪
-+=-
⎨⎪
⎪
=-⎪⎩
回代得 3215,3, 1.x x x =-==(10分)
四. 解. 雅可比迭代格式为
()()(1)()()1
23(1)()()
213
(1)()()312112
1(3)112k k k k k k k k k x x x x x x x x x +++⎧=+-⎪⎪=--⎨⎪⎪=--⎩
分
雅可比迭代矩阵
110221
01,1102
2J B ⎡
⎤-⎢⎥⎢
⎥
=--⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦
(5分) 其特征方程 11||0,22J E B λλλλ⎛⎫⎛⎫
-=-+= ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭
J B 的特征值 12,310,.2λλ==±
(8分) 因为谱半径()1
1,2
J B ρ=< 所以雅可比迭代法收敛。 (10分) 五．列表计算差商
