高中数学《数列》常见、常考题型总结
题型一 数列通项公式的求法
1．前n 项和法（知n S 求n a ）⎩⎨
⎧-=-11
n n n S S S a )
2()1(≥=n n
例1、已知数列}{n a 的前n 项和2
12n n S n -=，求数列|}{|n a 的前n 项和n T
变式：已知数列}{n a 的前n 项和n n S n 122
-=，求数列|}{|n a 的前n 项和n T
练习：
1
234.n S 52.（1）若（2）若例 1. 例2.例3.3.（1）当（2）当 例1练习：
1、在数列}{n a 中111
1,1-+-==n n a n n a a )2(≥n ，求n n S a 与。答案：)1(2+=n n a n
2、求数列)2(1
232,111
≥+-==-n a n n a a
n n 的通项公式。
4.形如s
ra pa a n n n +=
--11
型（取倒数法）
例1. 已知数列{}n a 中，21=a ，)2(1
211
≥+=--n a a a n n n ，求通项公式n a
练习：1、若数列}{n a 中，11=a ,131+=+n n n a a a ,求通项公式n a .答案：2
31
-=n a n
2、若数列}{n a 中，11=a ，112--=-n n n n a a a a ，求通项公式n a .答案：1
21
-=n a n
5．形如0(,1≠+=+c d ca a n n ,其中a a =1)型（构造新的等比数列） （1）若c=1时，数列{n a }为等差数列;（2）若d=0时，数列{n a }为等比数列;
（3
例1练习：26.(1)若例题. 所以{b =∴n b 练习：(2)若①若②若p 令n b 例1. {}n a 51)(321N n a a n n ∈+-=-n 1、已知数列{}n a 中，211=a ，n n n a a )21(21+=-，求通项公式n a 。答案：12
1
++=n n n a
2、已知数列{}n a 中，11=a ，n n n a a 2331⋅+=+，求通项公式n a 。答案：n
n n a 23371⋅-⋅=-
题型二 根据数列的性质求解（整体思想）
1、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，1006=a ，则=11S ；
2、设n S 、n T 分别是等差数列{}n a 、{}n a 的前n 项和，327++=
n n T S n n ，则=5
5b a
. 3、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若
==5
935,95S S
a a 则（ ） 5、在正项等比数列{}n a 中，153537225a a a a a a ++=，则35a a +=_______。 6、已知n S 为等比数列{}n a 前n 项和，54=n S ，602=n S ，则=n S 3 . 7、在等差数列{}n a 中，若4,184==S S ，则20191817a a a a +++的值为（ ） 8、在等比数列中，已知910(0)a a a a +=≠，1920a a
b +=，则99100a a += . 题型三：证明数列是等差或等比数列 A)证明数列等差
例1、已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n +2S n ·S n －1=0（n ≥2），a 1=2
1
.求证：{n S 1}是等差数列；
B ）证明数列等比
例1、已知数列{}n a 满足*
12211,3,32().
n n n a a a a a n N ++===-∈
⑴证明：数列{}1n n a a +-是等比数列； ⑵求数列{}n a 的通项公式； 题型四：求数列的前n 项和 基本方法：A ）公式法， B ）分组求和法
1、求数列n
{223}n +-的前n 项和n S .
2.)12()1(7531--+⋯++-+-=n S n
n
3.若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n ·(3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝( ) A ．15 B ．12 C ．－12 D ．－15
4.求数列1，2+
21，3+41，4+81，…，12
1-+n n 5.已知数列{a n }是3＋2－1,6＋22－1,9＋23－1,12＋24－1，…，写出数列{a n }的通项公式并求其前n 项和Sn . C ）裂项相消法，数列的常见拆项有：
1111()()n n k k n n k =-++；n n n n -+=++11
1
；
例1、求和：S =1+
n
++++++++++ 3211
3211211 例2、求和：
n
n +++++++++11341231121 . D ）倒序相加法，
例、设2
2
1)(x
x x f +=，求：).2010()2009()2()()()()(21312009120101f f f f f f f ++++++++ E ）错位相减法，
1、若数列{}n a 的通项n
n n a 3)12(⋅-=，求此数列的前n 项和n S . 2.2
1123(0)n n S x x nx x -=+++
+≠ （将分为1=x 和1≠x 两种情况考虑）
题型五：数列单调性最值问题
例1、数列{}n a 中，492-=n a n ，当数列{}n a 的前n 项和n S 取得最小值时，=n . 例2、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，.16,2541==a a 当n 为何值时，n S 取得最大值；
例3、设数列{}n a 的前n 项和为n S ．已知1a a =，13n n n a S +=+，*
n ∈N ．
1． 2014
2． 1A ．3 2A ．4⋅3．（ ） A ．12 4．{a n }A ．5 5. A. ()3
k k Z π
π±
∈ B. 2()3
k k Z π
π±
∈ C. 22()3
k k Z π
π±
∈ D.以上的答案均不对 6.设2a =3,2b =6,2c =12,则数列a,b,c 成
A.等差
B.等比
C.非等差也非等比
D.既等差也等比 7．如果等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么127...a a a +++=( ) （A ）14 （B ）21 （C ）28 （D ）35
8.设数列{}n a 的前n 项和3
S n n =，则4a 的值为( )
