第十四讲二次函数的同象和性质【重点考点例析】
考点一：二次函数图象上点的坐标特点
例1已知二次函数y=a（x-2）2+c（a＞0），当自变量x、3、0时，对应的函数
值分别：y1，y2，y3，，则y1，y2，y3的大小关系正确的是（）
A．y3＜y2＜y1 B．y1＜y2＜y3 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y2
对应训练
1．已知二次函数y=
1
2
-x2-7x+
15
2
，若自变量x分别取x1，x2，x3，且0＜x1＜x2＜x3，则
对应的函数值y1，y2，y3的大小关系正确的是（）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＜y2＜y3 C．y2＞y3＞y1 D．y2＜y3＜y1
考点二：二次函数的图象和性质
例2 对于二次函数y=x2-2mx-3，有下列说法：
①它的图象与x轴有两个公共点；
②如果当x≤1时y随x的增大而减小，则m=1；
③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则m=-1；
④如果当x=4时的函数值与x=2008时的函数值相等，则当x=2012时的函数值为-3．
其中正确的说法是．（把你认为正确说法的序号都填上）考点：二次函数的性质；二次函数图象与几何变换；抛物线与x轴的交点．
对应训练
2．如图，抛物线y1=a（x+2）2-3与y2=1
2
（x-3）²+1交于点A（1，3），过点A作x轴
的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．则以下结论：
①无论x取何值，y2的值总是正数；②a=1；③当x=0时，y2-y1=4；④2AB=3AC；
其中正确结论是（）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
考点三：抛物线的特征与a、b、c的关系
例3 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，其对称轴为x=1，有如下结论：①c＜1；②2a+b=0；③b2＜4ac；④若方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，则x1+x2=2，则正确的结论是（）
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
对应训练
3．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示对称轴为x=
1
2
-．下列结论中，正
确的是（）
A．abc＞0 B．a+b=0 C．2b+c＞0 D．4a+c＜2b
考点四：抛物线的平移
例4 如图，把抛物线y=x2沿直线y=x个单位后，其顶点在直线上的A处，则平移
后的抛物线解析式是（）
A．y=（x+1）2-1 B．y=（x+1）2+1 C．y=（x-1）2+1 D．y=（x-1）2-1
对应训练
4．已知下列函数①y=x2；②y=-x2；③y=（x-1）2+2．其中，图象通过平移可以得到函数y=x2+2x-3的图象的有（填写所有正确选项的序号）．
【聚焦中考】
1．二次函数y=a（x+m）2+n的图象如图，则一次函数y=mx+n的图象经过（）A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限
2．如图，二次函数的图象经过（-2，-1），（1，1）两点，则下列关于此二次函数的说法正确的是（）
A．y的最大值小于0 B．当x=0时，y的值大于1
C．当x=-1时，y的值大于1 D．当x=-3时，y的值小于0 3．（2015•菏泽）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y=bx+c和反比例函数a
y
在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）
x
A． B． C． D．
4．设A（-2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y=-（x+1）2+a上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2
5．已知二次函数y=2（x-3）2+1．下列说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线x=-3；③其图象顶点坐标为（3，-1）；④当x＜3时，y随x的增大而减小．则其中说法正确的有（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出下列结论：①b2-4ac＞0；
②2a+b＜0；③4a-2b+c=0；④abc<0. 其中正确的是（）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
7．将抛物线y=3x2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（）
A．y=3（x+2）2+3 B．y=3（x-2）2+3 C．y=3（x+2）2-3 D．y=3（x-2）2-3
【备考真题过关】
一、选择题
1．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则函数值y＜0时x的取值范围是（）A．x＜-1 B．x＞3 C．-1＜x＜3 D．x＜-1或x＞3
2．已知二次函数y=x2-4x+5的顶点坐标为（）
A．（-2，-1） B．（2，1） C．（2，-1） D．（-2，1）
3．若二次函数y=ax2+bx+a2-2（a、b为常数）的图象如图，则a的值为（）
A．1 B C．．-2
4．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象过（﹣1，1）、（2，﹣1）两点，下列关于这个二次函数的叙述正确的是（）
A．图象的开口向下 B．当x＞1时，y随x的增大而减小
C．当x＜1时，y随x的增大而减小 D．图象的对称轴是直线x=-1
6．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为（-1，0），（3，0）．对于下列命题：①b-2a=0；②abc＜0；③a-2b+4c＜0；④8a+c＞0．其中正确的有（）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
7．将抛物线y=x2+1先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，那么所得抛物线的函数关系式是（）
A．y=（x+2）2+2 B．y=（x+2）2-2 C．y=（x-2）2+2 D．y=（x-2）2-2 8．在平面直角坐标系中，若将抛物线y=2x2-4x+3先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是（）
A．（-2，3） B．（-1，4） C．（1，4） D．（4，3）
9．在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2-x-6向上（下）或向左（右）平移m个单位，使平移后的抛物线恰好经过原点，则|m|的最小值为（）
A．1 B．2 C．3 D．6
二、填空题
10平面直角坐标系中，点A是抛物线y=a（x-3）2+k与y轴的交点，点B是这条抛物上的另一点，且AB∥x轴，则以AB为边的等边三角形ABC的周长为．
11二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的对称轴是直线x=1，其图象的一部分如图所示．对于下列说法：
①abc＜0；②a-b+c＜0；③3a+c＜0；④当-1＜x＜3时，y＞0．
其中正确的是（把正确的序号都填上）．
