江苏省南师附中、淮阴中学、姜堰中学、海门中学2020届高三下学期四校4月联考数学

江苏省南师附中、淮阴中学、姜堰中学、海门中学

2020届高三下学期四校4月联考

数学试题

参考公式:

一组数据12,,,n x x x L 的方差为:22

11(),n i i s x x n ==-∑其中x 是数据12,,,n x x x L 的平均数. 一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分｡请把答案填写在答题卡相应位置上.

1.已知集合A={x|-1

2.已知复数z 满足(1-i)z=|1+i|(i 为虚数单位),则z 的实部为____.

3.若一组样本数据8, 9, x, 9, 10的平均数为9,则该组数据的方差为__.

4.根据如图所示伪代码,最后输出的i 的值为____.

5.从2名男同学和3名女同学中选2人参加某项活动,则至少有1名女同学被选中的概率为____.

6.双曲线2

2

13y x -=的准线方程为____. 7.已知*){}(n a n ∈N )为等差数列,其公差为-2,且6a 是2a 与8a 的等比中项,n S 为{}n a 的前n 项和,则10S 的值为_____. 8.已知函数21()ln 2

f x x x ax =-+,若函数f(x)在区间(1,2)上存在极值,则实数a 的取值范围为____. 9.给出下列命题:

①如果一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直;

②如果一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行;

③如果两条平行直线中的一条垂直于直线m,那么另一条直线也与直线m 垂直;

④如果两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.

其中真命题的序号是_____.

10. 已知函数()2cos()(0,0)2f x x πωϕωϕ=+><<的图象过点2),且在区间[0,]2

π上单调递减,则ω的最大值为____ 11. 在平面直角坐标系xOy 中,已知圆2

2:(2)4,C x y -+=点A 是直线x-y+2=0上的一个动点,直线AP,AQ

分别切圆C 于P,Q 两点,则线段PQ 长的取值范围为_____.

12. 已知正实数x, y 满足2()1,xy x y -=则x+y 的最小值为____.

13. 如图,在梯形ABCD 中,AB//CD 且DC=2AB=2BC,E 为BC 的中点, AC 与DE 交于点O.若125,CB CD OA OD ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r 则∠BCD 的余弦值为____.

14. 已知周期为6的函数f(x)满足f(4+x)= f(4-x),当x ∈[1,4]时,ln (),x f x x =则当323a e <≤时(e 为自然对数的底数),关于x 的不等式2()()0f x af x -<在区间[1,15]上的整数解的个数为_____.

二､解答题:本大题共6小题,共90分｡请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤｡

15. (本小题满分14分)

如图,在四棱锥P- ABCD 中,底面ABCD 是菱形,M 为PC 的中点｡

(1)求证:PA//平面BDM;

(2)若PA=PC,求证:平面PBD ⊥平面ABCD.

16.(本小题满分14分)

在平面直角坐标系xOy 中,已知角a 的顶点在坐标原点,始边与x 轴的非负半轴重合,终边经过一点P(-3,t)｡

(1)若t=4,求:sin()4πα

+的值; (2)若3t =

且α∈(0,2π),求f(x)= sin(x + α) + cos x 的单调增区间.

17. (本小题满分14分)

如图,某大型厂区有三个值班室A,B,C.值班室A 在值班室B 的正北方向3千米处,值班室C 在值班室B 的正

东方向4千米处｡

(1)保安甲沿CA 从值班室C 出发行至点P 处,此时PC=2,求PB 的距离;

(2)保安甲沿CA 从值班室C 出发前往值班室A,保安乙沿AB 从值班室A 出发前往值班室B,甲乙同时出发,甲的速度为5千米/小时,乙的速度为3千米/小时,若甲乙两人通过对讲机联系,对讲机在厂区内的最大通话距离为3千米(含3千米),试问有多长时间两人不能通话?

18. (本小题满分16分)

在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 的方程为2221(02)4x y b b

+=<<,且直线2y x =+与以原点为圆心,椭圆C 短轴长为直径的圆相切.

(1) 求b 的值;

(2)若椭圆C 左右顶点分别为M,N,过点P(-2,2)作直线l 与椭圆交于A, B 两点,且A,B 位于第一象限,A 在线段BP 上.

①若△AOM 和△BON 的面积分别为12,,S S 问是否存在这样的直线l 使得121S S +=?请说明理由;

②直线OP 与直线NA 交于点C,连结MB,MC,记直线MB,MC 的斜率分别为1,k 2.k 求证:12k k 为定值.

19. (本小题满分16分)

已知数列*{}()n a n ∈N 的前n 项和为S n ,()2

n

n n S a λ=+(λ为常数)对于任意的*n ∈N 恒成立. (1)若11,a =求λ的值;

(2)证明:数列{}n a 是等差数列; (3)若22,a =关于m 的不等式|2|1m S m m -<+有且仅有两个不同的整数解,求λ的取值范围.

20. (本小题满分16分) 已知函数ln ()(1

x f x a ax =∈+R ,且a 为常数). (1)若函数y=f(x)的图象在x=e 处的切线的斜率为

21(1)e e -(e 为自然对数的底数),求a 的值; (2)若函数y= f(x)在区间(1,2)上单调递增,求a 的取值范围;

(3)已知x,y ∈(1,2), 且x+y=3.

求证:

(23)ln (23)ln 011

x x y y x y --+≤--.

21. [选做题]本题包括A ､B ､C 共3小题,请选定其中两小题,并在相应的答题区域内作答若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

A. [选修4-2:矩阵与变换] (本小题满分10分) 曲线22

1x y +=在矩阵0(0,0)0a A a b b ⎡⎤=>>⎢⎥⎣⎦对应的变换下得到曲线2

2 1.9x y += (1)求矩阵A;

(2)求矩阵A 的特征向量.

B. [选修4-4:坐标系与参数方程] (本小题满分10分)

在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l 的参数方程

:12212x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩

(t 为参数),以原点为极点,x 轴非负半轴为极

轴(取相同单位长度)建立极坐标系,圆C 的极坐标方程为: ρ+ 2cosθ=0.