勾股定理
一、知识归纳
1、勾股定理
内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；
表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2 b2 c2
2、勾股定理的适用范围
勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形
和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形
3、勾股定理的应用
①已知直角三角形的任意两边长，求第三边
在ABC 中，C 90，则 c a2 b2，b c2 a2，a . c2 b2
②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系
4、勾股定理的逆定理
如果三角形三边长a，b，c满足a2 b2 c2，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边。勾股
定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和a2 b2与较长边的平方c2作比较，若它们相等时，
以a，b，c为三边的三角形是直角三角形；若a2 b2 c2，时，以a，b，c为三边的三角形是钝角三角形；若a2 b2 c2，时，以a，b，c为三边的三角形是锐角三角形；
二、题型
题型一：直接考查勾股定理
⑵已知AB 17, AC 15，求BC的长（分析：直接应用勾股定理a2 b2 c2）
例1 • 在ABC中，C 90⑴已知AC 6, BC 8 .求AB的长
⑵已知AB 17, AC 15，求BC的长（分析：直接应用勾股定理a2 b2 c2）
题型二：应用勾股定理建立方程
例 2 .⑴在 ABC 中， ACB 90 , AB 5 cm , BC 3 cm , CD AB 于 D , CD = _____________________ ⑵已知直角三角形的两直角边长之比为
3:4,斜边长为15，则这个三角形的面积为 _____________
⑶已知直角三角形的周长为 30 cm ，斜边长为13 cm ，则这个三角形的面积为 ________________ 分析：在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积•有时可 根据勾股定理列方程求解
C 90 , 1 2 , C
D 1.5, BD 2.5，求 AC 的长
题型三：实际问题中应用勾股定理
例5.如图有两棵树，一棵高 8 cm ，另一棵高2 cm ，两树相距8 cm , —只小鸟从一棵树的树梢飞到另 一棵数的树梢，至少飞了 ____________ m
题型四：应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形 例6.已知三角形的三边长为
a ,
b ,
c ,判定 ABC 是否为Rt 5
2 ① a 1.5, b 2, c 2.5
② a -, b 1 , c -
4
3
例3 .如图 ABC 中, 例4.如图Rt ABC , C 90 AC 3,BC 4,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积
B
B
D
C
例7.三边长为a , b , c满足a b 10, ab 18 , c 8的三角形是什么形状?
题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用
例8.已知ABC中，AB 13 cm，BC 10 cm，BC边上的中线AD 12 cm，求证：AB AC
勾股典型题:
一、填空题
1.已知一个Rt △的两边长分别为 3和4，则第三边长是 _____________ 2 .如图，圆锥的底面半径为
6cm 高为8cm,那么这个圆锥的母线
L 是________
3 .直角三角形两直角边长分别为 5和12，则斜边上的高为 ___________.
4.已知等腰三角形的腰长是
6cm 底边长是8cm,那么这个等腰三角形的面积是
.
5 .如图所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为 8,正
方形A 的面积是10, B 的面积是11, C 的面积是13,贝U D 的面积之为 __________
A 和
B 正东方向的两个村庄， Ct= 6 km ，且D 位于
C 的
北偏东30°方向上，则 AB= _______ km.
7.如图,有两棵树，一棵高8米,另一棵高2米,两树相距8米,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树 的树梢，则它至少要飞行 ____________ 米.
&如图，直线L 过正方形ABCD 的顶点B ,点A 、C 到直线L 的距离分别是1和2 的ABCD 的面积是 ________ . _________
9. __________________________________________________________________________ 如图是一个长方体长 4、宽3、高12,则图中阴影部分的三角形的周长为 _____________________________________
10. 某校为了筹备校园艺术节，要在通往舞台的台阶上铺上红色地毯.如果地毯的宽度恰好与台阶的
6 .如图，C 、D 分别是一个湖的南、北两端 12
则正方形
C
D
B
A
8cn
B D
A C
第6题13题
第9题
宽度一致，台阶的侧面如图所示，台阶的坡角为 30°, BCA 90°，台阶的高BC 为2米，那么请你帮
11. 有一圆柱体高为10cm 底面圆的半径为4cm AA 、BB 为相对的两条母线。 在AA 上有一个蜘蛛 Q,
QA =3cm;在 BB 上有一只苍蝇 P , PB =2cm 。蜘蛛沿圆柱体侧面爬到 P 点吃苍蝇，最短的路径是
cm （结果用带n 和根号的式子表示）
12. 如图，如果以正方形 ABCD 勺对角线AC 为边作第二个正方形 ACEF 再以对角线 AE 为边作第三个 正方形AEGH 如此下去，…，已知正方形
ABCD 的面积S 1为1,按上述方法所作的正方形的面积依次为
S 2
, S 3
，…，S n
（n 为正整数），那么第8个正方形的面积 S 8
= _________________________________
、选择题
13. “数轴上的点并不都表示有理数，如图中数轴上的点 说明问题的方式体现的数学思想方法叫（
）
第17题
14. 下列几组数中不能作为直角三角形三边长度的是
忙算一算需要
米长的地毯恰好能铺好台阶.
(结果精确到 0.1m ，取 2
1.414 , 3 1.732 )
P 所表示的数是V 5 ”，这种利用图形直观
A.代入法
B.换元法
C.数形结合的思想方法
D.分类讨论的思想方法
tr
B
°
