高中平面几何定理汇总及证明
1.共边比例定理
有公共边AB的两个三角形的顶点分别是P、Q，AB与PQ的连线交于点M,则
有以下比例式成立：△PAB的面积：△ QAB的面积=PM：ＱM。
证明:分如下四种情况,分别作三角形高,由相似三角形可证
S△PＡB=(Ｓ△PAM-S△PMＢ)
＝（S△PAM/Ｓ△PMB－１）×S△PMＢ
=(AＭ/BM－1)×Ｓ△ＰＭB(等高底共线,面积比=底长比）
同理，S△QＡＢ=（AＭ/BM-１）×S△QMＢ
所以，Ｓ△PAB／Ｓ△ＱAB=Ｓ△PMB/S△QＭB=ＰＭ／QＭ（等高底共线，面积比＝底长比）
定理得证！
特殊情况:当ＰB∥ＡＱ时，易知△PＡB与△QＡB的高相等,从而S△PＡB=S△QＡB，反之，S△PAＢ＝S△QＡB，则ＰB∥AQ。
2.正弦定理
在任意一个平面三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等且等于外接圆半径的2倍”，即a/sｉnＡ= b/sinB =c/sinC = 2ｒ=R(r为外接圆半径，R为直径)
证明：
现将△ABC,做其外接圆,设圆心为O.我们考虑∠C及其对边ＡB.
设AB长度为c。
若∠Ｃ为直角，则AB就是⊙O的直径,即ｃ= ２ｒ。
∵（特殊角正弦函数值)
∴
若∠C为锐角或钝角，过Ｂ作直径BC｀交⊙O于Ｃ`，连接C'Ａ，显然BC'= 2r=R。若∠C为锐角，则Ｃ＇与Ｃ落于AB的同侧,
此时∠Ｃ'＝∠C（同弧所对的圆周角相等)
∴在Rｔ△ABＣ'中有
若∠C为钝角,则Ｃ'与Ｃ落于AB的异侧,BC的对边为a，此时∠C’=∠Ａ，亦可推出。
考虑同一个三角形内的三个角及三条边，同理,分别列式可得
.
3.分角定理
在△ABC中，D是边BC上异于B，C或其延长线上的一点,连结AD,
则有BD/ＣＤ=（ｓｉn∠BAD/ｓiｎ∠CAD)*（AB/AＣ）。
证明:
S△ABD/S△ACD＝BD／ＣＤ…………（1．1)
S△ABＤ/S△ACD=[(1/2)×AB×AＤ×sin∠BAD］/［（1/2) ×ＡC×AD×sin∠ＣAD]＝ (ｓin∠BAD/siｎ∠ＣＡD）×(AB/AC）…………（１。2)由1。１式和1。2式得
ＢＤ/CD=(siｎ∠BAD／sin∠CＡD）×(AB/AC）
4.张角定理
在△AＢＣ中，D是BC上的一点，连结AD。那么。
证明：
设∠1=∠BAD，∠2=∠CAD
由分角定理，
S△ＡＢＤ／S△ABC=BD/ＢC=（AD/ＡC)*（sin∠1/siｎ∠BＡC)
→ (BD/BＣ)*（ｓin∠ＢAC/AD)=ｓｉn∠1/AC （1。1）
S△ACD／S△ＡＢC＝CD/BC=（AD/AB)*(sｉｎ∠2/sin∠BAC)
→ (CD/BC）＊（sｉn∠ＢAC／AＤ）=sin∠2/AB （1.2)
(１.１）式+（1。2)式即得 sin∠1/ＡＣ+sin∠２/AB＝siｎ∠BAC/AD
5.帕普斯定理
直线l1上依次有点A，B，C，直线l２上依次有点D,Ｅ，F,设AE，BD交于Ｇ，AF,D Ｃ交于I，ＢF,EＣ交于H，则G，I，H共线。
6.ﻬ蝴蝶定理
设S为圆内弦AB的中点,过S作弦ＣF和DE。设CF和DE各相交ＡB于点M和Ｎ，则S是MN的中点。
证明：
过O作ＯL⊥EＤ,OT⊥ＣF，垂足为Ｌ、T，
连接ON，ＯM，OS，SL，ＳT，易明△ＥSD∽△ＣＳF
∴ES/CS=ED/ＦC
根据垂径定理得：ＬD=ＥD/2,FＴ=FC/2
∴EＳ／CS=EL/CT
又∵∠E=∠C
∴△ESＬ∽△CSＴ
∴∠ＳLＮ=∠ＳＴＭ
∵S是ＡB的中点所以ＯＳ⊥AＢ
∴∠OＳN=∠OＬN=90°
∴O,Ｓ，N,L四点共圆,(一中同长)
同理，O，T,M，Ｓ四点共圆
∴∠STＭ=∠SＯM，∠SLN=∠SON
∴∠SON＝∠SOM
∵OＳ⊥AB
∴ＭS=NＳ
7.西姆松定理
过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边或其延长线上的垂线，则三垂足共线.(此线常称为西姆松线）。
证明：
若Ｌ、Ｍ、N三点共线,连结ＢP，CP，则因PL⊥ＢＣ,PＭ⊥AＣ,PＮ⊥AＢ，有B、L、P、N和P、M、C、L分别四点共圆，有
∠NBP = ∠NLP = ∠MＬP= ∠MＣP.
故A、B、P、C四点共圆。
若A、P、B、C四点共圆，则
∠NBP＝∠ＭＣP.
因PＬ⊥BC,PM⊥AＣ，PＮ⊥AＢ，
有B、L、P、N和P、Ｍ、C、L四点共圆，有
∠NBＰ＝∠NLＰ＝∠MＣP＝∠MＬP。
故L、M、N三点共线.
西姆松逆定理：若一点在三角形三边所在直线上的射影共线,则该点在此三角形的外接圆上。
证明：PＭ⊥ＡC,PＮ⊥ＡＢ ,所以Ａ,M,N,P共圆
8.清宫定理
设P、Ｑ为△ABC的外接圆上异于A、B、C的两点,Ｐ关于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、Ｖ、Ｗ,且QU、QV、QW分别交三边ＢＣ、CA、AＢ或其延长线于Ｄ、E、F，则D、Ｅ、F在同一直线上。
证明：
A、B、P、Ｃ四点共圆，因此
∠PCE＝∠ABP
点P和Ｖ关于CＡ对称
所以∠PＣＶ=2∠ＰCE
又因为Ｐ和W关于AB对称,所以
∠PＢW=2∠ABP
从这三个式子,有
∠PCV＝∠ＰBＷ
另一方面,因为∠ＰCQ和∠PBQ都是弦ＰQ所对
的圆周角，所以
∠PCＱ=∠ＰBQ
两式相加，有
∠PＣＶ＋∠PCＱ=∠PBＷ+∠PBQ
即∠QCV＝∠QBW
即△QＣV和△QBW有一个顶角相等，因此
但是，，所以
同理
，
