《微积分》各章习题及详细答案
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创作编号：BG7531400019813488897SX 创作者： 别如克*
第一章 函数极限与连续
一、填空题
1、已知x x f cos 1)2(sin +=，则=)(cos x f 。
2、=-+→∞)
1()34(lim
22
x x x x 。 3、0→x 时，x x sin tan -是x 的 阶无穷小。
4、01sin lim 0=→x
x k
x 成立的k 为 。
5、=-∞
→x e x
x arctan lim 。
6、⎩⎨⎧≤+>+=0,0
,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续，则=b 。
7、=+→x
x x 6)13ln(lim 0 。
8、设)(x f 的定义域是]1,0[，则)(ln x f 的定义域是__________。 9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。
10、设a 是非零常数，则________)(lim =-+∞→x
x a
x a x 。
11、已知当0→x 时，1)1(3
12-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数________=a 。 12、函数x
x
x f +=13arcsin )(的定义域是__________。
13、lim ____________x →+∞
-
=。
14、设8)2(
lim =-+∞→x
x a
x a x ，则=a ________。
15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞
→=____________。
二、选择题
1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数，)(x h 是],[l l -上的奇函数，则 中所给的函数必为奇函数。 （Ａ）)()(x g x f +；（Ｂ）)()(x h x f +；（C ）)]()()[(x h x g x f +；（D ）)()()(x h x g x f 。
2、x
x
x +-=
11)(α，31)(x x -=β，则当1→x 时有 。 （Ａ）α是比β高阶的无穷小； （Ｂ）α是比β低阶的无穷小；
（C ）α与β是同阶无穷小； （D ）βα~。
3、函数⎪⎩⎪⎨⎧=-≥≠-+-+=0)1(0,1
111)(3x k x x x x x f 在0=x 处连续，则=k 。
（Ａ）23； （Ｂ）3
2
； （C ）1； （D ）0。
4、数列极限=--∞
→]ln )1[ln(lim n n n n 。
（Ａ）1； （Ｂ）1-； （C ）∞； （D ）不存在但非∞。
5、⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧>=<+=0
1cos 00
0sin )(x x x x x x x x x f ，则0=x 是)(x f 的 。
（Ａ）连续点；（Ｂ）可去间断点；（C ）跳跃间断点；（D ）振荡间断点。
6、以下各项中)(x f 和)(x g 相同的是（ ）
（Ａ）2
lg )(x x f =，x x g lg 2)(=； （Ｂ）x x f =)(，2)(x x g =
；
（C ）334)(x x x f -=，31)(-=x x x g ；（D ）1)(=x f ，x x x g 2
2tan sec )(-=。
7、 |
|sin lim
0x x
x →= （ ）
（Ａ） 1； （Ｂ） -1； （C ） 0； （D ） 不存在。 8、 =-→x
x x 10
)1(lim （ ）
（Ａ） 1； （Ｂ） -1； （Ｃ） e ； （Ｄ） 1
-e 。 9、)(x f 在0x 的某一去心邻域内有界是)(lim 0
x f x x →存在的（ ）
（Ａ）充分必要条件；（Ｂ） 充分条件；（C ）必要条件；（D ）既不充分也不必要条件. 10、 =-+∞
→)1(lim 2
x x x x （ ）
（Ａ） 1； （Ｂ） 2； （C ）
2
1
； （D ） 0。 11、设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列，且∞===∞
→∞
→∞
→n n n n n n c b a lim ,1lim ,0lim ，则必有
（ ）
（A ）n n b a <对任意n 成立； （B ）n n c b <对任意n 成立； （C ）极限n n n c a ∞
→lim 不存在 ； （D ）极限n n n c b ∞
→lim 不存在。
12、当1→x 时，函数
1
1
21
1---x e x x 的极限（ ） （Ａ）等于２； （Ｂ）等于０； （Ｃ）为∞； （Ｄ）不存在但不为∞。
三、计算解答 1、计算下列极限 （1）1
2sin
2lim -∞
→n n
n x ； （2）x
x
x x cot csc lim
0-→ ；
（3）)1(lim 1-→∞x
x e x ； （4）x
x x x 31212lim ⎪⎭
⎫
⎝⎛-+∞→ ；