第二章：测量数据处理

§2.4 近似数的修约与运算
1. 近似数的修约
B 修约规则 “四舍五入”规则的修正。 规则如下： （1）舍去部分的数值大于保留末位的1/2, 则末位加1； （2）舍去部分的数值小于保留末位的1/2, 则末位不变； （3）舍去部分的数值等于保留末位的1/2, 若末位是偶 数，则末位不变，否则末位加1.
§2.1 误差分类
•测量的目的是为了获得被测量的真实值。但是，由于种种 原因如测量方法、测量仪表、测量环境等的影响，任何被 测量的真实值都无法得到。 •数据处理: 希望通过正确认识误差的性质和来源，正确地 处理测量数据，以得到最接近真值的结果。同时合理地制 定测量方案，科学地组织试验，正确地选择测量方法和仪 器，以便在条件允许的情况下得到最理想的测量结果。
Δl2
=
A
sin(
2π T
θ
0
+
π)
=
−
A
sin(
2π T
θ0
)
=
−Δl1
可知，如果在某处测得一个数据后，在与该点相隔半个周期处再测量一个数 据，取两次测量的平均值作为测量结果，即可消除周期性系统误差。
§2.4 近似数的修约与运算
1. 近似数的修约
A 修约间隔
修约间隔：确保修约的保留位数。 修约间隔的量值：10m。m为整数。 例： 10‐2。表示数值修约到小数点后2位； 100。表示数值修约到小数点个位； 103。表示数值修约到小数点千位。
3. 采用特殊测量方法消除系统误差
1) 标准量替代法 替代法主要用于消除定值系统误差，其操作方法为用可 调的标准量具取代被测量 x 接入测量仪表，通过调节 标准量具A的值使测量仪表的示值与被测量接入时相同， 于是有 x=A 。
2) 交换法
这种方法是指当测量仪表内部存在固定方向的误差因素时， 将测量中的某些条件(如被测物的位置或被测量的极性等) 相互交换，使产生系差的原因对先后两次测量结果起反作 用，将这两次测量结果加以适当的数学处理(通常取其算 术平均值或几何平均值)，即可消除系统误差。 例如，以等臂天平测量质量时，由于天平左右两臂长的微 小差别，会引起测量的定值系统误差。如果将被称物与砝 码在天平左右两盘上分别各称量一次，取两次测量平均值 作为被称物的质量，这时测量结果中就不含有因天平不等 臂引起的系统误差。
νi > g(a, n)s
则该测量数据含有粗大误差，应予以剔除。
三. 粗大误差的剔除准则
3）3t.检t验检准验则准则
假设测量值x1，x2，……,xn. 假设xd为怀疑对象。
统计不包含统计量xd的平均值x
=
n
1 −
1
∑
xi
标准差
s=
∑ vi2
n−2
根据要求的显著性水平a 以及测量次数n，求t检验系数K
解(1)采用拉依达准则判定 残差v
vi > 3s
n
∑ xi
x = i=1 = 20.404 n
n
∑ vi2
s = i=1 = 0.033 n −1
so : 3s = 0.099
(n = 15)
根据拉依达准则，可 以发现，第8个数据 的残差0.104大于 0.099，该组数据中 含有粗大误差。
解(2)采用格罗布斯准则判定
则判定存在粗大误差，应予以剔除。
注意点：测量次数n尽可能多。原因：当n过小时，把正 常值当成异常值。
三. 粗大误差的剔除准则
2）格拉布斯准则 2. 格罗布斯(Grubbs)准则
假设测量值x1，x2，……,xn. 其均值 x、，残差vi、标准差s
已知。
x
=
1 n
∑
xi
vi = xi − x
∑ s =
k
n
M = ∑νi − ∑ νi
i =1
i =i +1
若M近似为零，则说明上述测量列中不含线性系统误差；若M与Vi相当或 更大，则说明测量列中存在线性系统误差。
4) 阿贝-赫梅特准则（序差检验法）
阿贝-赫梅特准则用于发现周期性系统误差。一组测量值 x1,, x2 , L, xi , L, xn
按顺序排列，并求出相应的残差 ν i 。然后计算
x0
§2.1 误差的分类
为了便于误差的分析和处理，可以按误差的规 律性将其分为三类：即 •粗大误差； •随机误差； •系统误差。
§2.2 粗大误差的判定与剔除
一. 粗大误差的概念
明显超出规定条件下的预期值的误差称为粗大误差。 粗大误差一般是测量环境的重大变化、由于操作人员粗心 大意、操作不当或实验条件没有达到预定要求就进行实验 等造成的。如读错、测错、记错数值、使用有缺陷的测量 仪表等。含有粗大误差的测量值称为坏值或异常值，所有 的坏值在数据处理时应剔除。
4对称测量法
对称测量法用于消除线性系统误差。 由于线性系统误差按照如图所示的 斜线规律变化，其特点为对称于中 点 t3 的各系统误差的算术平均值 彼此相等，即有
Δl1
+ Δl5 2
=
Δl2
+ Δl4 2
=
Δl3
线性系统误差
利用上述关系，将测量对称安排，取两次对称测量值的平均值作为 测量结果即消除系统误差。在许多精密测量场合，均可采用等时距 对称观测法消除变值系差。
测量次数：n=15 假设显著性水平：a=0.01 查表：g(0.01,15)=2.70 根据格罗布斯(Grubbs)准则计算：
νi > g(a, n)s
g(a, n)δ = 2.70× 0.033 = 0.0891
可以发现，第8个数据的残差0.104大于0.0891，可见，第8 个数据20.30为可疑数据，其产生的误差为粗大误差。故剔 除第8个数据20.30，重新判断。
5半周期偶数测量法
半周期观测法用于消除周期性的系统误差。设周期性系统误差的变化规律为
Δl = Asin( 2π θ )
T
式中 θ——决定周期性误差的自变量； T——周期性系统误差的变化周期。
在某一时刻，如 θ = θ 0 ，周期性误差为
Δ l1
=
A
s
in
(
2π T
θ
0
)
经过半个周期后， θ = θ0 + T / 2，周期性误差为
| xi − xj | <3 si2 + sj2
成立，则认为测量序列中有系统误差存在。
四. 减小系统误差的方法
分析和研究系统误差的最终目的是减小和消除系统误差。 常用的消除系统误差的方法：
1. 消除系统误差产生的根源 为减小系统误差的影响，应该从测试系统的设计时入手。 选用合适的测量方法以避免方法误差；选择最佳的测量仪 表与合理的装配工艺，以减小工具误差；应选择合适的测 量环境以减小环境误差。此外，还需定期的检查、维修和 校正测量仪器以保证测量的精度。
3) 马利科夫准则（和检验）
马利科夫准则适用于发现线性系统误差。设对按测量先后顺序得到 X1,X2…Xi,…,Xn等数值。令这些数值的算术平均值为
n
x = (∑ xi ) / n i=1
相应的残差为： ν i = xi − x (i = 1, 2,K, n)
将前面一半以及后面一半数据的残差分别求和，然后取其差值，有
17
2.78
2.48
4
1.49
1.46
18
2.82
2.50
5
1.75
1.67
19
2.85
2.53
6
1.94
1.82
20
2.88
2.56
表
7
2.10
1.94
21
2.91
2.58
8
2.22
2.03
22
2.94
2.60
(Grubbs)
9
2.23
2.11
23
2.96
2.62
准
10
2.41
2.18
24
2.99
5、剔除粗大误差 6、重复以上，直到没有粗大误差。
例题：对某个物理量进行15次重复测量，数据如下： 20.42 20.43 20.40 20.43 20.42 20.43 20.39 20.30 20.40 20.43 20.42 20.41 20.39 20.39 20.40 .判断测量数据是否含有粗大 误差？
2.64
则
11
2.48
2.23
25
3.01
2.66
12
2.55
2.28
30
3.10
2.74
13
2.61
2.33
35
3.18
2.81
14
2.66
2.37
40
3.24
2.87
15
2.70
2.41
50
3.34
2.96
16
2.75
2.44
100
3.59
3.17
判定测量数据是否存在粗大误差的步骤：
1、根据读数确定平均值，作为真值； 2、确定残差或绝对误差 3、确定标准差； 4、根据拉依达准则、格罗布斯准则、t检 验准则判定粗大误差
四. 减小系统误差的方法
2. 引入更正值法 该方法主要用于消除定值系统误差。在测量之前，通过对 测量仪表进行校准，可以得到更正值，将更正值加入测量 值中，即得到被测量的真值。 更正值一般用表示，它是与测量误差的绝对值相等而符号 相反的值。更正值给出的方式不一定是具体的数值，也可 以是一条曲线、公式或数表。在某些自动检测系统中，预 先将更正值储存于计算机的内存中，这样可对测量结果中 的系统误差自动进行修正。
如果：
| xd − x |> s ⋅ K
则认为是异常值，需要剔除。
三. 粗大误差的剔除准则
1. 拉依达准则：使用方便； 2. 格拉布斯准则：适用于观测次数
30<n<50； 3. t检验：适用于观测次数较少的情况。
鉴格
a 0.01
0.05
a
0.01
0.05
别罗 n
n
值布 数斯 值
3
1.15
1.15
vi 2
n −1
三. 粗大误差的剔除准则
2）2格. 拉格布罗斯布准斯则(Grubbs)准则
将数据排序，x1 < x2 <,L, < xn
统计量
giHale Waihona Puke Baidu
=
xi
− s
x
当 gi > g0 ，则认为是异常值，予以剔除
g0 为格拉布斯准则判别系数，可以查表来得到。
三. 粗大误差的剔除准则
2）格拉布斯准则另一种形式 2. 格罗布斯(Grubbs)准则的另一种方式 当测量数据中，某数据xi 的残差满足
§2.1 误差分类
测量误差及其表示方法
测量结果与被测量真值之差称为测量误差。测量误差可 以用以下几种方法表示。 1．绝对误差 绝对误差是指测量结果的测量值与被测量的真值之间的 差值，即：
Δ = x − x0
x0: 真值; x: 测量值
2．相对误差 相对误差: 绝对误差与真值之比的百分数，即
δ = Δ × 100%
§2.2 粗大误差的判定与剔除
二. 粗大误差的判定
1. 直观判断，直接剔除。 2. 增加测量次数，观察结果。 3. 根据概率统计特性进行判断。
三. 粗大误差的剔除准则
1）拉依达准则（3s准则）
在正态分布中，误差（残差）的绝对值大于3的概率为 0.0027，为小概率事件。故：
vi > 3s
vi = xi − x
n −1
∑ A =
ν iν i +1
i =1
若存在 A > σ 2 n −1 成立( σ 2 为测量数据序列的方差)，则认为测量序列
中含有周期性系统误差。
4) 组间数据检验正态检验法
目的：用于不同测量组之间的系统误差分析 方法：用不同的方法计算标准差，通过比较以发现系 统误差。 对于两种不同方法计算得出的均值和标准差，如果有：
对剩余的14个数据重新计算，通过格罗布斯准则判定， 都没有粗大误差存在。
2013年8月29日星期四10时40 分32秒
§2.3 系统误差的发现与修正
在相同的条件下，对同一物理量进行多次测量，如果误 差按照一定规律出现，则把这种误差称为系统误差，简 称系差。
系统误差可分为定值系统误差(简称定值系差)和变值系 统误差(简称变值系差)。数值和符号都保持不变的系统 误差称为定值系差。数值和符号均按照一定规律性变化 的系统误差称为变值系差。
§2.3 系统误差的发现与修正
变值系差按其变化规律可分为： •线性系统误差；测量误差随某种因素线性变化； •周期性系统误差；测量误差随某种因素线性变化； •复杂规律变化的系统误差。误差受多种因素的影响。
§2.3 系统误差的发现与修正
系统误差示意图
其中1为定值系差，2 为线性系统误差，3为周期 系统误差，4为按复杂规律变化的系统误差。
2. 恒定系统误差的发现
• 实验对比检验法
改变产生系统误差的条件，在不同条件下进 行测量，对结果进行比较找出恒定系统误差.
2. 变值系统误差的发现
1) 观察法 通过观察测量数据的各个残差大小和符号的变 化规律来判断有无变值系统误差。这些判断准 则实质上是检验误差的分布是否偏离正态分布。 2）残差统计法 常用的有马利科夫准则，阿贝‐赫梅特准则等。
第二章 测量数据处理
测量数据处理: 对测量所获得的数据进行深入的分 析，找出变量之间相互制约、相互联系的依存关 系;有时还需要用数学解析的方法，推导出各变量 之间的函数关系。 只有经过科学的处理，才能去粗取精、去伪存真， 从而获得反映被测对象的物理状态和特性的有用 信息。
本章内容
•2.1 误差分类 •2.2 粗大误差的判别和剔除 •2.3 系统误差的发现和修正 •2.4 近似数的修约与运算 •2.5 数据的图形表示 •2.6 最小二乘法与实验曲线拟合