现代结构化学 2010.9
第一章 量子力学基础知识
练习题
1.（北师大95）微观粒子体系的定态波函数所描述的状态是（ B ） A. 波函数不随时间变化的状态 B ．几率密度不随时间变化的状态 C. 自旋角动量不随时间变化的状态 D. 粒子势能为零的状态
2.（北大93）ψ是描述微观体系（运动状态）的波函数。
3.（北师大20000）若11i e αψψψ=+，其中α为实常数，且1ψ已归一化，求
ψ的归一化常数。
解：设11()i A e αψψψ=+是归一化的，
2*21
111()()(2)1i i i i d A e e d A e e ααααψψτψψψψτ*-=++=++=⎰⎰
A =
4.（东北师大99）已知一束自由电子的能量值为E,写出其德布罗意波长表达式，并说明可用何种实验来验证（10分）
h h P mv λ=
== E=1/2mv 2 (mv)2=2mE 电子衍射实验 5.（中山97）（北大98）反映实物粒子波粒二象性的关系式为（,h
E hv P λ
==
）
6．（中山97）一维势箱长度为l ，则基态时粒子在(2
l
)处出现的几率密度
最大。
（中山2001）一维势箱中的粒子，已
知n x
l
πψ=，则在(
3(21),,.......,222l l n l n n n
-)处出现的几率密度最大。 解法1：ψ的极大和极小在ψ2中都为极大值，所以求ψ的极值（包括极大和极小）位置就是几率密度极大的位置。
n x
l πψ=
'cos 0
(21)
0,1,2,3 (2)
(21) 0,1,2,3...
2 0 (21)2n n x l l n x m m l m l
x m n
x l m n
ππψππ==+==+==≤≤∴+≤
解法2：
n x l
πψ= 几率密度函数
2
22sin n x P l l πψ== 求极值：(sin2α=2Sin α•cos α)
22'2s i n c o s
22sin 022sin 0 = 0,1,2,3,...
22= 0 20,212 1,3,5 (21)
2n x n x n P l l l l n n x l l n x n x m m l l ml x n x m x l m n l n
m n m m ml
x m n n
πππ
πππππ======
≤≤∴≤===∴==- 为边界，不是极值点为极大值，为极小值...
极大值位置为 7.（北大93）边长为l 的立方势箱中粒子的零点能是(2
2
38h E ml
=) 8.（北大94）两个原子轨道1ψ和2ψ互相正交的数学表达式为(120d ψψτ*=⎰) 9. 一维谐振子的势能表达式为21
2
V kx =，则该体系的定态薛定谔方程中的哈密顿算符为（ D ）
A. 212kx
B.
222122kx m ∇- C. 222
122
kx m -∇- D. 2222122d kx m dx -+ E. 222
2
122
d kx m dx --
10.(北师大04年) 设算符123ˆˆ,,A A A ∧
和4
ˆA 对任意f 的作用为
1
234ˆˆˆˆ2,,df A f A f f A f A f f f dx
====⨯, 指出哪些算符为线性算符(23
ˆˆ,A A ) 11.1,2ψψ是某原子的可能状态,下列哪些组合也是该原子的可能状态? a. 12ψψ- b. 12ψψ⨯ c . 12ψψ÷ d. 12ψψ+ (a, d)
12. 写出一个电子在长度为a 的一维势箱中运动的Hamilton 算符.
2
22
ˆ2d H m dx
=- 13.（北师大02年）
(1) 给出用原子单位表示的下列算符表达式
(a)电子的动量平方算符为 2222222222
ˆˆˆˆ()x y z
P P P P x y z ∂∂∂=++=-++∂∂∂ (b) 原子核看作不动，He 原子的Hamilton 算符
2212
1212
11221ˆ22a a H r r r =-∇-∇--+ (c)角动量在z 方向分量的算符 z z
ˆM M ()ˆ 1y x z
xp yp i x y y x
M i φ
∂∂=-=-+∂∂∂=-=∂ 或 (2). H 原子处于态
122s s ψψ=，1s ψ和2s ψ分别为H 原子的1s 和2s 原子轨道，对应的能量分别为1,2s s E E ，给出H 原子的平均能量。 解法一 ˆH d E d ψψτ
ψψτ
**
=
⎰⎰
1212111221221212ˆˆ(2)(2)ˆˆˆˆ46400610
2355s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s s s s H d H d E d H d H d H d H d E E E E ψψτ
ψψτψψτψψτψψτψψτψψτ
**
+==
+++=
+++=
=+⎰⎰解法二
122s s ψψ= 组合系数2i c 表示物理量i ψ对总物理量ψ的贡献。
将ψ归一化， 1d ψψτ*=⎰， 则归一化后
12s s ψ'=
因此，1s E 对E 的贡献为410，2s E 对E 的贡献为610。 1223
55
s s E E E =+ 14. （北师大05年）
(1).1,2,3ψψψ是体系的可能状态，下列哪种组合也是体系的可能状态（ d ） a. 123ψψ- b. 23ψψ+ c. 1232ψψψ-+ d.以上三种均是
(2). 在边长为l 的三维势箱运动的微观粒子，当能量为2
2
68h E ml =时，简并
度为（ c ）
a.1
b.2
c.3
d.4 解 2
222
2
()8x y z n n n h
E ml
++=
222
6x y z n n n ++=
1 1 2
(3). 某波函数为12(23)c ψφφ=+，1φ和2φ是正交归一化的，那么常数c 的值为（
）
