第五章 静 电 场
5 －9 若电荷Q 均匀地分布在长为L 的细棒上.求证：(1) 在棒的延长线，且离棒中心为r 处的电场强度为
2
204π1L r Q
εE -=
(2) 在棒的垂直平分线上，离棒为r 处的电场强度为
2204π21L
r r Q
εE +=
若棒为无限长(即L →∞)，试将结果与无限长均匀带电直线的电场强度相比较.
分析 这是计算连续分布电荷的电场强度.此时棒的长度不能忽略，因而不能将棒当作点电荷处理.但带电细棒上的电荷可看作均匀分布在一维的长直线上.如图所示，在长直线上任意取一线元d x ，其电荷为d q ＝Q d x /L ，它在点P 的电场强度为
r r q εe E 2
0d π41d '=
整个带电体在点P 的电场强度
⎰=E E d
接着针对具体问题来处理这个矢量积分.
(1) 若点P 在棒的延长线上，带电棒上各电荷元在点P 的电场强度方向相同，
⎰=L
E i E d
(2) 若点P 在棒的垂直平分线上，如图(A )所示，则电场强度E 沿x 轴方向的分量因对称性叠加为零，因此，点P 的电场强度就是
⎰⎰==L
y E αE j j E d sin d
证 (1) 延长线上一点P 的电场强度⎰'=L r πεE 202，
利用几何关系 r ′＝r －x 统一积分变量，则
()220
022
204π12/12/1π4d π41L r Q
εL r L r L εQ x r L x Q εE L/-L/P -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=-=⎰
电场强度的方向沿x 轴.
(2) 根据以上分析，中垂线上一点P 的电场强度E 的方向沿y 轴，大小为
E r εq
αE L d π4d sin 2
⎰
'=
利用几何关系 sin α＝r /r ′，2
2
x r r +=' 统一积分变量，则
()
2
2
03
/2222
2041π2d π41L
r r
εQ
r
x L x
rQ εE L/-L/+=
+=⎰
当棒长L →∞时，若棒单位长度所带电荷λ为常量，则P 点电场强度
r
ελL r L Q r εE l 02
20π2 /41/π21lim
=
+=∞
→
此结果与无限长带电直线周围的电场强度分布相同［图(B )］.这说明只要满足r 2/L 2 ＜＜1，带电长直细棒可视为无限长带电直线.
5 －14 设匀强电场的电场强度E 与半径为R 的半球面的对称轴平行，试计算通过此半球面的电场强度通量.
分析 方法1：由电场强度通量的定义，对半球面S 求积分，即⎰
⋅=S
S d s E Φ
方法2：作半径为R 的平面S ′与半球面S 一起可构成闭合曲面，由于闭合面内无电荷，由高斯定理
∑⎰==
⋅0d 0
q εS
S E 这表明穿过闭合曲面的净通量为零，穿入平面S ′的电场强度通量在数值上等于穿出半球面S 的电场强度通量.因而
⎰⎰'
⋅-=⋅=S S
S E S E Φd d
解1 由于闭合曲面内无电荷分布，根据高斯定理，有
⎰⎰'
⋅-=⋅=S S
S E S E Φd d
依照约定取闭合曲面的外法线方向为面元d S 的方向，
E R πR E 22πcos π=⋅⋅-=Φ
解2 取球坐标系，电场强度矢量和面元在球坐标系中可表示为①
()r θθθE e e e E sin sin cos sin cos ++=
r θθR e S d d sin d 2=
E
R θθER θθER S
S
2π
π
2
222πd
sin d sin d
d sin sin d ===⋅=⎰⎰⎰⎰S E Φ
5 －17 设在半径为R 的球体内，其电荷为球对称分布，电荷体密度为
()()
R r ρkr ρ>=≤≤= 0R r 0
k 为一常量.试分别用高斯定理和电场叠加原理求电场强度E 与r 的函数关系.
分析 通常有两种处理方法：(1) 利用高斯定理求球内外的电场分布.由题意知电荷呈球对称分布，因而电场分布也是球对称，选择与带电球体同心的球面为高斯面，
在球面上电场强
度大小为常量，且方向垂直于球面，因而有2
S π4d r E ⋅=⋅⎰
S E
根据高斯定理⎰
⎰
=
⋅V ρεd 1
d 0S E ，可解得电场强度的分布. (2) 利用带电球壳电场叠加的方法求球内外的电场分布.将带电球分割成无数个同心带电球壳，球壳带电荷为r r ρq ''⋅=d π4d 2
，每个带电球壳在壳内激发的电场0d =E ，而在球壳外激发的电场
r
r
εq
e E 20π4d d =
由电场叠加可解得带电球体内外的电场分布
()()()()R r r r R
r
>=≤≤=⎰⎰
d R r 0
d 0
E E E E
解1 因电荷分布和电场分布均为球对称，球面上各点电场强度的大小为常量，由高斯定理
⎰
⎰=
⋅V ρεd 1
d 0S E 得球体内(0≤r ≤R ) ()4
20
2
πd π41
π4r εk r r kr εr r E r
=
=
⎰
()r εkr r e E 0
2
4=
球体外(r ＞R )
()4
20
2πd π41π4r εk r r kr εr r E R
=
=
⎰
()r εkR r e E 0
2
4=
解2 将带电球分割成球壳，球壳带电
r r r k V ρq '''==d π4d d 2
由上述分析，球体内(0≤r ≤R )
()r r r
εkr r r r r k εr e e E 02
2200
4d π4π41=''⋅'=⎰ 球体外(r ＞R )
()r r R
r εkR r r r πr k πεr e e E 2
02
220
04d 441=''⋅'=⎰
