高中理科数学离散型随机变量及分布列

理科数学复习专题 统计与概率 离散型随机变量及其分布列

知识点一

1、离散型随机变量：随着实验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母，X,Y ,

表示，所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量。

2、离散型随机变量的分布列及其性质：

（1）定义：一般的，若离散型随机变量X 可能取的不同值为12,,,,,,i n x x x x X 取每一个值(1,2,,)i x i

n 的概率为()

i i P X

x p ，则表

称为离散型随机变量离散型随机变量X ，简称X 的分布列。 （2）分布列的性质：①0,1,2,,i

p i

n ；②

1

1n

i

i p

（3）常见离散型随机变量的分布列： ①两点分布：若随机变量X 的分布列为, 则称X 服从两点分布，并称(1)p

P x

为成功概率

②超几何分布：一般的，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则()

(0,1,2,,k n k M N

M

n N

C C P X

k k

m C 其中min{,}m M n ，且

*,,,,)n

N M

N n M N

N ,称分布列为超几何分布列。如果随机变量X 的分布列

0n M N

M

n C

C

1n M N

M

n C C

m n m M N

M

n C C

、随机变量的数学期望（均值）与方差

题型一 由统计数据求离散型随机变量的分布列

【例1】已知一随机变量的分布列如下，且E (ξ)＝6.3，则a 值为( )

A. 5 【变式1】 某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%；一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%.下表是过去200例类似项目开发的实施结果：

则该公司一年后估计可获收益的期望是________．

题型二 由古典概型求离散型随机变量的分布列（超几何分布）

【例2】在一次购物抽奖活动中，假设某10券中有一等奖券1，可获价值50元的奖品；有二等奖券3，每可获价值10元的奖品；其余6没有奖．某顾客从此10奖券中任抽2，求：

(1)

该顾客中奖的概率；

(2)该顾客获得的奖品总价值X 元的概率分布列．

【变式2】某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别．公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A 饮料，另外4杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料．若4杯都选对，则月工资定为3 500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2 800元；否则月工资定为2 100元．令X表示此人选对A饮料的杯数．假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力．

(1)求X的分布列；(2)求此员工月工资的期望．

知识点二

1．条件概率及其性质

对于两个事件A和B，在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率叫做条件概率，用

符号P(A|B)来表示，其公式为P(A|B)＝P(AB)

P(B)

(P(B)>0)．

在古典概型中，若用n(B)表示事件B中基本事件的个数，则P(A|B)＝n(AB) n(B)

.

2．相互独立事件

(1)对于事件A、B，若事件A的发生与事件B的发生互不影响，称A、B是相互独立事件．

(2)若A与B相互独立，则P(AB)＝P(A)P(B)．

(3)若A与B相互独立，则A与B，A与B，A与B也都相互独立．

(4)若P(AB)＝P(A)P(B)，则A与B相互独立．

3．二项分布

(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有__两__种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的．

(2)在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝C k n p k(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，此时称随机变量X服从二项分布，记为X～B(n，p)，并称p为成功概率．

题型三 条件概率

例1 (1)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A 为“取到的2个数之和为偶数”，事件B 为“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )＝ ________.

(2)如图所示，EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的接正方形，将一粒豆子随机地扔到该圆，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH ”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE (阴影部分)”，则P (B |A )＝________.

练：某地空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是________．

题型四 由独立事件同时发生的概率求离散型随机变量的分布列（二项分布）

例1 在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手．

(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；

(2)X 表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，“求X ≥2”的事件概率．

例2在一次数学考试中，第21题和第22题为选做题．规定每位考生必须且只须在其中选做一题．设4名学生选做每一道题的概率均为12.

(1)求其中甲、乙两名学生选做同一道题的概率；

(2)设这4名考生中选做第22题的学生个数为ξ，求ξ的概率分布．

练习：