(完整版)高中数学双曲线课后习题(带答案)
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双曲线课后习题
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分)
1.到两定点()0,31-F 、()0,32F 的距离之差的绝对值等于6的点M 的轨迹 ( )
A .椭圆
B .线段
C .双曲线
D .两条射线
2.方程11122=-++k
y
k x 表示双曲线,则k 的取值范围是
( ) A .11<<-k B .0>k C .0≥k D .1>k 或1- 3. 双曲线14122 2 22=--+m y m x 的焦距是 ( ) A .4 B .22 C .8 D .与m 有关 4.已知m,n 为两个不相等的非零实数,则方程m x -y+n=0与n x 2+my 2=mn 所表示的曲线可 ( ) A B C D 5. 双曲线的两条准线将实轴三等分,则它的离心率为 ( ) A . 2 3 B .3 C . 3 4 D . 3 6.焦点为()6,0,且与双曲线12 22 =-y x 有相同的渐近线的双曲线方程是 ( ) A .1241222=-y x B .1241222=-x y C .1122422=-x y D .112 242 2=-y x 7.若a k <<0,双曲线12222=+--k b y k a x 与双曲线122 22=-b y a x 有 ( ) A .相同的虚轴 B .相同的实轴 C .相同的渐近线 D . 相同的焦点 8.过双曲线19 162 2=-y x 左焦点F 1的弦AB 长为6,则2ABF ∆(F 2为右焦点)的周长是( ) A .28 B .22 C .14 D .12 9.已知双曲线方程为14 2 2=-y x ,过P (1,0)的直线L 与双曲线只有一个公共点,则L 条数共有 ( ) A .4条 B .3条 C .2条 D .1条 10.给出下列曲线:①4x +2y -1=0; ②x 2+y 2 =3; ③1222=+y x ④12 22=-y x ,其中与直线 y=-2x -3有交点的所有曲线是 ( ) A .①③ B .②④ C .①②③ D .②③④ 二、填空题(本题共4小题,每小题6分,共24分) 11.双曲线17 92 2=-y x 的右焦点到右准线的距离为__________________________. 12.与椭圆125 162 2=+y x 有相同的焦点,且两准线间的距离为310的双曲线方程为 ____________. 13.直线1+=x y 与双曲线13 22 2=-y x 相交于B A ,两点,则AB =__________________. 4.过点)1,3(-M 且被点M 平分的双曲线14 22 =-y x 的弦所在直线方程为 . 三、解答题(本大题共6题,共76分) 15.求一条渐近线方程是043=+y x ,一个焦点是()0,4的双曲线标准方程,并求此双曲线 的离心率.(12分) 16.双曲线()0222>=-a a y x 的两个焦点分别为21,F F ,P 为双曲线上任意一点,求证: 2 1PF PO PF 、、成等比数列(O 为坐标原点).(12分) 17.已知动点P 与双曲线x 2-y 2=1的两个焦点F 1,F 2的距离之和为定值,且cos ∠F 1PF 2 的最小值为-1 3 . (1)求动点P 的轨迹方程; (2)设M (0,-1),若斜率为k (k ≠0)的直线l 与P 点的轨迹交于不同的两点A 、B ,若要使|MA |=|MB |,试求k 的取值范围.(12分) 18.已知不论b 取何实数,直线y=k x +b 与双曲线122 2 =-y x 总有公共点,试求实数k 的取值范围.(12分) 19.设双曲线C1的方程为)0 ,0 (1 2 2 2 2 > > = -b a b y a x ,A、B为其左、右两个顶点,P是双曲线C1上的任意一点,引QB⊥PB,QA⊥PA,AQ与BQ交于点Q. (1)求Q点的轨迹方程; (2)设(1)中所求轨迹为C2,C1、C2 的离心率分别为e1、e2,当2 1 ≥ e时,e2的取值范围(14分) 参考答案 一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分) ① ② 11.4 7 12.14522=-x y 13.64 14.0543=-+y x 三、解答题(本大题共6题,共76分) 15.(12分)[解析]:设双曲线方程为:λ=-2 2169y x ,∵双曲线有一个焦点为(4,0),0>∴λ 双曲线方程化为:254816169116 92 22=⇒=+⇒=-λλλλλy x , ∴双曲线方程为:1251442525622 =-y x ∴455 164==e . 16.(12分)[解析]:易知2,2,== =e a c a b ,准线方程:2 a x ±=,设()y x P ,, 则 ) 2(21a x PF + = , ) 2 (22a x PF - = , 2 2y x PO +=, 222 2 212)2 (2a x a x PF PF -=- =⋅∴ 222222)(PO y x a x x =+=-+= 21PF PO PF 、、∴成等比数列. 17.(12分) [解析]:(1)∵x 2-y 2=1,∴c = 2.设|PF 1|+|PF 2|=2a (常数a >0),2a >2c =22,∴a > 2 由余弦定理有cos ∠F 1PF 2=|PF 1|2+|PF 2|2-|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|=(|PF 1|+|PF 2|)2-2|PF 1||PF 2|-|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|=2a 2-4 |PF 1||PF 2| - 1 ∵|PF 1||PF 2|≤(|PF 1|+|PF 2|2 )2 =a 2,∴当且仅当|PF 1|=|PF 2|时,|PF 1||PF 2|取得最大值a 2. 此时cos ∠F 1PF 2取得最小值2a 2-4a 2-1,由题意2a 2-4a 2 -1=-1 3 ,解得a 2=3,123222=-=-=∴c a b ∴P 点的轨迹方程为x 23 +y 2 =1. (2)设l :y =kx +m (k ≠0),则由,⎪⎩⎪⎨⎧+==+m kx y y x 13 22 将②代入①得:(1+3k 2)x 2+6kmx +3(m 2-1)=0 (*) 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则AB 中点Q (x 0,y 0)的坐标满足:x 0= x 1+x 22=-3km 1+3k 2,y 0=kx 0+m =m 1+3k 2 即Q (-3km 1+3k 2 ,m 1+3k 2 ) ∵|MA |=|MB |,∴M 在AB 的中垂线上, ∴k l k AB =k ·m 1+3k 2+1- 3km 1+3k 2 =-1 ,解得m =1+3k 2 2 …③ 又由于(*)式有两个实数根,知△>0, 即 (6km )2-4(1+3k 2)[3(m 2-1)]=12(1+3k 2-m 2)>0 ④ ,将③代入④得 12[1+3k 2 -(1+3k 22 )2]>0,解得-1<k <1,由k ≠0,∴k 的取值范围是k ∈(-1,0)∪(0,1).