【数学】数学 平行四边形的专项 培优练习题及答案
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一、平行四边形真题与模拟题分类汇编(难题易错题)
1.已知:在菱形ABCD中,E,F是BD上的两点,且AE∥CF.
求证:四边形AECF是菱形.
【答案】见解析
【解析】
【分析】
由菱形的性质可得AB∥CD,AB=CD,∠ADF=∠CDF,由“SAS”可证△ADF≌△CDF,可得AF=CF,由△ABE≌△CDF,可得AE=CF,由平行四边形的判定和菱形的判定可得四边形AECF是菱形.
【详解】
证明:∵四边形ABCD是菱形
∴AB∥CD,AB=CD,∠ADF=∠CDF,
∵AB=CD,∠ADF=∠CDF,DF=DF
∴△ADF≌△CDF(SAS)
∴AF=CF,
∵AB∥CD,AE∥CF
∴∠ABE=∠CDF,∠AEF=∠CFE
∴∠AEB=∠CFD,∠ABE=∠CDF,AB=CD
∴△ABE≌△CDF(AAS)
∴AE=CF,且AE∥CF
∴四边形AECF是平行四边形
又∵AF=CF,
∴四边形AECF是菱形
【点睛】
本题主要考查菱形的判定定理,首先要判定其为平行四边形,这是菱形判定的基本判定.
2.如图,四边形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,BD=BC,点E为CD的中点,射线BE交AD 的延长线于点F,连接CF.
(1)求证:四边形BCFD是菱形;
(2)若AD=1,BC=2,求BF的长.
【答案】(1)证明见解析(2)23【解析】
(1)∵AF∥BC,∴∠DCB=∠CDF,∠FBC=∠BFD,
∵点E为CD的中点,∴DE=EC,
在△BCE与△FDE中,
FBC BFD
DCB CDF
DE EC
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
,
∴△BCE≌△FDE,∴DF=BC,
又∵DF∥BC,∴四边形BCDF为平行四边形,
∵BD=BC,∴四边形BCFD是菱形;
(2)∵四边形BCFD是菱形,∴BD=DF=BC=2,
在Rt△BAD中,AB=223
BD AD
-=,
∵AF=AD+DF=1+2=3,在Rt△BAF中,BF=22
AB AF
+=23.
3.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AC=60cm,∠A=60°,点D从点C出发沿CA方向以
4cm/秒的速度向点A匀速运动,同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动.设点D、E运动的时间是t 秒(0<t≤15).过点D作DF⊥BC于点F,连接DE,EF.
(1)求证:AE=DF;
(2)四边形AEFD能够成为菱形吗?如果能,求出相应的t值,如果不能,说明理由;(3)当t为何值时,△DEF为直角三角形?请说明理由.
【答案】(1)见解析;(2)能,t=10;(3)t=
15
2
或12.
【解析】
【分析】
(1)利用t表示出CD以及AE的长,然后在直角△CDF中,利用直角三角形的性质求得DF的长,即可证明;
(2)易证四边形AEFD是平行四边形,当AD=AE时,四边形AEFD是菱形,据此即可列方程求得t的值;
(3)△DEF为直角三角形,分∠EDF=90°和∠DEF=90°两种情况讨论.
【详解】
解:(1)证明:∵在Rt△ABC中,∠C=90°﹣∠A=30°,
∴AB=1
2AC=
1
2
×60=30cm,
∵CD=4t,AE=2t,
又∵在Rt△CDF中,∠C=30°,
∴DF=1
2
CD=2t,∴DF=AE;
(2)能,
∵DF∥AB,DF=AE,
∴四边形AEFD是平行四边形,
当AD=AE时,四边形AEFD是菱形,即60﹣4t=2t,解得:t=10,∴当t=10时,AEFD是菱形;
(3)若△DEF为直角三角形,有两种情况:
①如图1,∠EDF=90°,DE∥BC,
则AD=2AE,即60﹣4t=2×2t,解得:t=15
2
,
②如图2,∠DEF=90°,DE⊥AC,
则AE=2AD,即2t2(604t)
=-,解得:t=12,
综上所述,当t=15
2
或12时,△DEF为直角三角形.
4.定义:我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”.
性质:如果两个三角形是“友好三角形”,那么这两个三角形的面积相等.
理解:如图①,在△ABC中,CD是AB边上的中线,那么△ACD和△BCD是“友好三角形”,并且S△ACD=S△BCD.
应用:如图②,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,点E在AD上,点F在BC上,AE=BF,AF 与BE交于点O.
(1)求证:△AOB和△AOE是“友好三角形”;
(2)连接OD,若△AOE和△DOE是“友好三角形”,求四边形CDOF的面积.
探究:在△ABC中,∠A=30°,AB=4,点D在线段AB上,连接CD,△ACD和△BCD是“友好三角形”,将△ACD沿CD所在直线翻折,得到△A′CD,若△A′CD与△ABC重合部分的面
积等于△ABC面积的,请直接写出△ABC的面积.
【答案】(1)见解析;(2)12;探究:2或2.
【解析】
试题分析:(1)利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,得到四边形ABFE是平行四边形,然后根据平行四边形的性质证得OE=OB,即可证得△AOE和△AOB是友好三角形;
(2)△AOE和△DOE是“友好三角形”,即可得到E是AD的中点,则可以求得△ABE、
△ABF的面积,根据S四边形CDOF=S矩形ABCD-2S△ABF即可求解.
探究:画出符合条件的两种情况:①求出四边形A′DCB是平行四边形,求出BC和A′D推出∠ACB=90°,根据三角形面积公式求出即可;②求出高CQ,求出△A′DC的面积.即可求出△ABC的面积.
试题解析:(1)∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,
∵AE=BF,
∴四边形ABFE是平行四边形,
∴OE=OB,
∴△AOE和△AOB是友好三角形.
(2)∵△AOE和△DOE是友好三角形,