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第一章：预备知识
§1.1 概率空间
随机试验，样本空间记为Ω。
定义1.1 设Ω是一个集合，F 是Ω的某些子集组成的集合族。如果 （1）∈ΩF ；
（2）∈A 若F ，∈Ω=A A \则F ；
则称则称
Λ,2,1=有：则称{t X t ,为X 为X §1.4特征函数、母函数和拉氏变换
定义1.10设随机变量的分布函数为F （x ），称 为X 的特征函数
随机变量的特征函数具有下列性质： (1)(0)1,()1,()()g g t g t g t =≤-= 1 (2)g (t )在()∞∞-,上一致连续。（3）()(0)()k k k g i E X =
(4)若12,,,n X X X L 是相互独立的随机变量，则12n X X X X =+++L 的特征函数12()()()()n g t g t g t g t =L ，其中()i g t 是随机变量X i 的特征函数，1,2,,i n =L .
定义1.11设12(,,,)n X X X X =L 是n 维随机变量，t =(12,,,n t t t L ),R ∈则称
121
()(,,,)()[exp()]n
itX n k k k g t g t t t E e
E i t X '
====∑L ,
为X 的特征函数。
定义1.12设X 是非负整数值随机变量，分布列 则称
)()(X
def s E s P =＝k k k s P ∑∞
=0
为X 的母函数。
定义性质性质给定X 的Y 下性质如果Y 是离散型随机变量，则上式为
如果Y 是连续型，具有概率密度f(x)，则（1）式为
第二章 随机过程的概念与基本类型
§2.1随机过程的基本概念
定义2.1设（P F ，，Ω）是概率空间,T 是给定的参数集,若对每个t ∈T ，有一个
随机变量X (t ,e )与之对应，则称随机变量族}),,({T t e t X ∈是（P F ，，Ω）的随机过程,简记为随机过程}),({T t t X ∈。T 称为参数集，通常表示时间。
通常将随机过程}),,({T t e t X ∈解释为一个物理系统。X(t)表示在时刻t 所处的状态。
X(t)的所有可能状态所构成的集合称为状态空间或相空间，记为I 。
从数学的观点来说，随机过程}),,({T t e t X ∈是定义在T ×Ω上的二元函数。对固定的t ，X (t ,e )是定义在T 上的普通函数，称为随机过程}),,({T t e t X ∈的一个样本函数或轨道，样本函数的全体称为样本函数的空间。
§2.2随机过程的函数特征
t X ={X (t ),t ∈T }的有限维分布函数族。
定义定义定义t Z =其中定理（1
3412则称()t X 正交增量过程。
二、独立增量过程
定义2.7设(){}T ∈X t t ,是随机过程，若对任意的正整数n 和,21T ∈<<定义2.8设(){}T ∈X t t ,是平稳独立增量过程，若对任意,t s <随机变量()()s t X -X 的
分布仅依赖于s t -，则称(){}T ∈X t t ,是平稳独立增量过程。
三、马尔可夫过程
定义 2.9设(){}T t t X ∈,为随机过程，若对任意正整数n 及
n t t t <<Λ,21,()()0,,)(1111>==--n n x t X x t X P Λ，且其条件分布
()(){}1111,,|)(--===n n n n x t X x t X x t X P Λ=(){}11|)(--==n n n n x t X x t X P ，(2.6)
则称(){}T t t X ∈,为马尔可夫过程。
四、正态过程和维纳过程
n 和
t t ,,21
,n 当
t ,,1Λn t t t ,,,21ΛT t t X ∈,，也称狭义平稳过程。
定义2.13设(){}T t t X ∈,是随机过程，如果 （1）(){}T t t X ∈,是二阶矩过程； （2）对于任意()()[]=X E =T ∈X t t m t ,常数；
（3）对任意的()()s t R t s R t s -=T ∈X X ,,,，则称(){}T t t X ∈,为广义平稳过程，简称为平稳过程。
若T 为离散集，则称平稳过程(){}T t t X ∈,为平稳序列。
第三章泊松过程
§３.1泊松过程的定义和例子
定义3.1计数过程
定义3.2称计数过程}0),({≥t t X 为具有参数λ＞0的泊松过程，若它满足下列条件 (1)X(0)=0；
(2)X(t)是独立增量过程；
(3)在任一长度为t 的区间中，事件A 发生的次数服从参数λt ＞0的泊松分布，即对任意s,t ＞0，有
定义 定理定理定理数为n 与λ的Γ分布，其概率密度为
三、到达时间的条件分布
定理3.4设}0),({≥t t X 是泊松过程，已知在[0,t]内事件A 发生n 次，则这n 次到达时
间n W W W <<<Λ21与相应于n 个[0,t]上均匀分布的独立随机变量的顺序统计量有相同的分布。
§3.3非齐次泊松过程
定义3.4称计数过程{(),0}X t t ≥为具有跳跃强度函数()t λ的非齐次泊松过程，若它满足下列条件：
