几何的定值与最值
几何中的定值问题，是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变，或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题，解几何定值问题的基本方法是：分清问题的定量及变量，运用特殊位置、极端位置，直接计算等方法，先探求出定值，再给出证明．
几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量(如线段长度、角度大小、图形面积)等的最大值或最小值，求几何最值问题的基本方法有：
1．特殊位置与极端位置法；
2．几何定理(公理)法；
3．数形结合法等．
注：几何中的定值与最值近年广泛出现于中考竞赛中，由冷点变为热点．这是由于这类问题具有很强的探索性(目标不明确)，解题时需要运用动态思维、数形结合、特殊与一般相结合、
逻辑推理与合情想象相结合等思想方法．
【例题就解】
【例1】如图，已知AB=10，P是线段AB上任意一点，在AB的同侧分别以AP和PB为边作等边△APC和等边△BPD，则CD长度的最小值
为．
思路点拨如图，作CC′⊥AB于C，DD′⊥AB于D′，
1AB一常数，当CQ越小，CD越小，DQ⊥CC′，CD2=DQ2+CQ2，DQ=
2
本例也可设AP=x，则PB=x-
10，从代数角度探求CD的最小值．注：从特殊位置与极端位置的研究中易得到启示，常能找到解题突破口，特殊位置与极端位置是指：
(1)中点处、垂直位置关系等；
(2)端点处、临界位置等．
【例2】如图，圆的半径等于正三角形ABC的高，此圆在沿底边AB滚动，
⌒
切点为T，圆交AC、BC于M、N，则对于所有可能的圆的位置而言，MTN为的度数（）
A．从30°到60°变动B．从60°到90°变动
C．保持30°不变D．保持60°不变
思路点拨先考虑当圆心在正三角形的顶点C时，
其弧的度数，再证明一般情形，从而作出判断．
注：几何定值与最值问题，一般都是置于动态背景下，
动与静是相对的，我们可以研究问题中的变量，考虑当变
化的元素运动到特定的位置，使图形变化为特殊图形时，
研究的量取得定值与最值．
【例3】如图，已知平行四边形ABCD，AB=a，BC=b(a>b)，P为AB 边上的一动点，直线DP交CB的延长线于Q，求AP+BQ的最
小值．
思路点拨设AP=x，把AP、BQ分别用x的代数式表示，
运用不等式ab
b
a2
2
2≥
+(当且仅当b
a=时取等号)来求最小值．
【例4】如图，已知等边△ABC内接于圆，在劣弧AB上取异于A、B的点
⌒
M，设直线AC与BM相交于K，直线CB与AM相交于点N，证明：线段AK 和BN的乘积与M点的选择无关．
思路点拨即要证AK·BN是一个定值，在图形中△ABC
的边长是一个定值，说明AK·BN与AB有关，从图知AB为
△ABM与△ANB的公共边，作一个大胆的猜想，AK·BN=AB2，
从而我们的证明目标更加明确．
注：只要探求出定值，那么解题目标明确，定值问题就转化为一般的几何证明问题．
【例5】已知△XYZ是直角边长为1的等腰直角三角形(∠Z=90°)，它的三个顶点分别在等腰Rt△ABC(∠C=90°)的三边上，求△ABC直角边长的最大可能值．
思路点拨顶点Z在斜边上或直角边CA(或CB)上，当顶点Z在斜边AB上时，取xy的中点，通过几何不等关系求出直角边的最大值，当顶点Z在(AC或CB)上时，设CX=x，CZ=y，建立x，y的关系式，运用代数的方法求直角边的最大值．
注：数形结合法解几何最值问题，即适当地选取变量，建立几何元素间的函数、方程、不等式等关系，再运用相应的代数知识方法求解．常见的解题途径是：
(1)利用一元二次方程必定有解的代数模型，运用判别式求几何最值；
(2)构造二次函数求几何最值．
学力训练 1．如图，正方形ABCD 的边长为1，点P 为边BC 上任意一点（可与B 点
或C 点重合），分别过B 、C 、D 作射线AP 的垂线，垂足分别是B ′、C ′、D ′，
则BB ′+CC ′+DD ′的最大值为 ，最小值为 ．
2．如图，∠AOB=45°，角内有一点P ，PO=10，在角的两边上有两点Q ，
R(均不同于点O)，则△PQR 的周长的最小值为 ．
3．如图，两点A 、B 在直线MN 外的同侧，A 到MN 的距离AC=8，B 到
MN 的距离BD=5，CD=4，P 在直线MN 上运动，则PB PA -的最大值等
于 ．
4．如图，A 点是半圆上一个三等分点，B 点是弧AN 的中点，P 点是直径
MN 上一动点，⊙O 的半径为1，则AP+BP 的最小值为( )
A ．1
B ．2
2 C ．2 D ．13- 5．如图，圆柱的轴截面ABCD 是边长为4的正方形，动点P 从A 点出发，
沿看圆柱的侧面移动到BC 的中点S 的最短距离是( )
A ．212π+
B ．2412π+
C ．214π+
D ．242π+
6．如图、已知矩形ABCD ，R ，P 户分别是DC 、BC 上的点，E ，F 分别是
AP、RP的中点，当P在BC上从B向C移动而R不动时，那么下列结论成立的是( )
A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐减小
C．线段EF的长不改变D．线段EF的长不能确定
7．如图，点C是线段AB上的任意一点(C点不与A、B点重合)，分别以AC、BC为边在直线AB的同侧作等边三角形ACD和等边三角形BCE，AE与CD相交于点M，BD与CE相交于点N．
(1)求证：MN∥AB；
(2)若AB的长为l0cm，当点C在线段AB上移动时，是否存在这样的一点C，使线段MN的长度最长?若存在，请确定C点的位置并求出MN的长；若不存在，请说明理由．
(2002年云南省中考题)
8．如图，定长的弦ST在一个以AB为直径的半圆上滑动，M是ST的中点，
