圆锥曲线中的最值及范围问题
椭圆、双曲线、抛物线的几何性质及直线与圆锥曲线的位置关系. 解析几何与代数方法的综合. 新题型分类例析
热点题型1：重要不等式求最值 （05浙江•理17）如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点12,F F 在x 轴上，长轴12A A 的长为4，左准线l 与x 轴的交点为M ，|MA 1|∶|A 1F 1|＝2∶1． (Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)若直线1l ：x ＝m (|m |＞1)，P 为1l 上的动点，使12F PF ∠最大的点P 记为Q ，求点Q 的坐标(用m 表示)．本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆方程、两条直线的夹角，点的坐标等基础知识，考查解析几何的基本
思想方法和综合解题能力满分14分
解：(Ⅰ)设椭圆方程为()22
2210x y a b a b
+=>>，半焦距为c ，则
2
111,a MA a A F a c c
=-=-
()2
222224
a a a c c a a
b
c ⎧-=-⎪⎪⎪
=⎨⎪=+⎪⎪⎩
由题意,
得2,1a b c ∴=== 22
1.43
x y +=故椭圆方程为
(Ⅱ) 设()0,,||1P m y m >， 当00y >时，120F PF ∠=；
当00y ≠时，22102
F PF PF M π
<∠<∠<
，
∴只需求22tan F PF ∠的最大值即可
设直线1PF 的斜率011y k m =
+，直线2PF 的斜率0
21
y k m =-，
021********||tan 11y k k F PF k k m y -∴∠=
=≤=+-+
0||y =时，12F PF ∠最大，
(,,||1Q m m ∴>
[变式新题型1]：
已知椭圆C 的方程是)0(12222>>=+b a b y a x ，双曲线122
22=-b
y a x 的两条渐近线为21,l l ，
过椭圆C 的右焦点F 作直线l ，使l 1l ⊥，又l 与2l 的交于P 点，设l 与椭圆C 的两个交点由上至下依次为A 、B （如图）
（1）当1l 与2l 的夹角为︒60，双曲线的焦距为4时，求椭圆C 的方程及离心率， （2）若AP FA λ=，求λ的最大值. [启思]
热点题型2：利用函数求最值 点A 、B 分别是椭圆
22
13620
x y +=长轴的左、右焦点，点F 是椭圆的右焦点点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，PA ⊥（1）求P 点的坐标；
（2）设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于MB ，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值
解：（1）由已知可得点A (－6,0),F (0,4) 设点P (x ,y ),则AP ={x +6,y },FP ={x －4,y },
由已知可得 22
213620(6)(4)0x y x x y ⎧+
=⎪⎨⎪+-+=⎩
则2x 2
+9x －18=0,解得x =
2
3
或x =－6. 由于y >0,只能x =
2
3
,于是y =235.
∴点P 的坐标是(
2
3,23
5) (2) 直线AP 的方程是x －3y +6=0.
设点M (m ,0),则M 到直线AP 的距离是
2
6+m .
于是
2
6+m =6+m ,又－6≤m ≤6,解得m =2.
椭圆上的点(x ,y )到点M 的距离d 有 d 2
=(x －2)2
+y 2
=x －4x 2
+4+20－95x 2=94(x －2
9
)2+15, 由于－6≤m ≤6, ∴当x =2
9
时,d 取得最小值15. [变式新题型2]
如图，B （-c ，0），C （c ，0），AH BC ⊥，垂足为H ，且BH HC →=→
3。
（I ）若AB AC →⋅→
=0，求以B 、C 为焦点并且经过点A 的椭圆的离心率；
（II ）D 分有向线段AB →的比为λ，A 、D 同在以B 、C 为焦点的椭圆上，当-≤≤-57
2
λ时，
求椭圆的离心率e 的取值范围.
解：（I ）因为BH HC →=→3，所以H （c
2
，0）……1分
又因为AH BC ⊥，设A c
y (,)2
由AB AC →⋅→=0，得(,)(,)---⋅--=c c y c c
y 22
000
即y c 02
234=……3分
所以||()||()AB c c c AC c c c =+==+=32343234
2222
，
椭圆长轴231a AB AC c =+=+||||()……4分 所以，e c
a
=
=-31……5分
所以x y 110211=+=+λλ
，……7分 设椭圆方程为x a y b
222
21+=()a b >>0，将A 、D 点坐标代入椭圆方程
e y b 20
2
2
41+=……① e y b 22202
22
4121111⋅-++⋅+=()()()λλλ……②……8分 由①得y b e 02
2214=-，代入②，整理的e 2
2131
1=+-=-+λλλ……10分
因为-≤≤-
572λ，所以e 2
1312
∈[]，……12分 又01<2
≤≤e ……13分
热点题型3：利用导数求最值在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的长为2，宽为1，AB 、AD 边分别在x 轴、y 轴的正半轴上，A 点与坐标原点重合（如图5所示）.将矩形折叠，使A 点落在线段DC 上.
（Ⅰ）若折痕所在直线的斜率为k ，试写出折痕所在直线的方程；
（Ⅱ）求折痕的长的最大值.
解(I) （1）当0=k 时,此时A 点与D 点重合, 折痕所在的直线方程2
1=
y （2）当0≠k 时，将矩形折叠后A 点落在线段CD 上的点为G(a,1)
