全等三角形的经典模型(一)
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3
全等三角形的 经典模型(一)
45°45°
C
B
A
等腰直角三角形数学模型思路:
⑴利用特殊边特殊角证题(AC=BC 或904545︒︒°,,).如图1; ⑵常见辅助线为作高,利用三线合一的性质解决问题.如图2; ⑶补全为正方形.如图3,4.
图1 图2
图3 图4
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题型一:等腰直角三角形模型
D
C
B
A
【例1】 已知:如图所示,Rt △ABC 中,AB =AC ,90BAC ∠=°,O 为BC 的中点,
⑴写出点O 到△ABC 的三个顶点A 、B 、C 的距离的关系(不要
求证明)
⑵如果点M 、N 分别在线段AC 、AB 上移动,且在移动中保持 AN =CM .试判断△OMN 的形状,并证明你的结论. ⑶如果点M 、N 分别在线段CA 、AB 的延长线上移动,且在移动中保持AN =CM ,试判断⑵中结论是否依然成立,如果是请给出证明. 【解析】 ⑴OA =OB =OC
⑴连接OA ,
⑴OA =OC 45∠=∠=BAO C ° AN =CM ⑴⑴ANO ⑴⑴CMO
⑴ON =OM
⑴∠=∠NOA MOC
⑴90∠+∠=∠+∠=︒NOA BON MOC BON ⑴90∠=︒NOM
⑴⑴OMN 是等腰直角三角形 ⑴⑴ONM 依然为等腰直角三角形,
证明:⑴⑴BAC =90°,AB =AC ,O 为BC 中点 ⑴⑴BAO =⑴OAC =⑴ABC =⑴ACB =45°,
⑴AO =BO =OC ,
⑴在⑴ANO 和⑴CMO 中, AN CM BAO C AO CO =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
⑴⑴ANO ⑴⑴CMO (SAS )
典题精练
A
B
C
O
M
N A B C
O
M
N A
B
C
O
M
N
⑴ON =OM ,⑴AON =⑴COM , 又⑴⑴COM -⑴AOM =90°, ⑴⑴OMN 为等腰直角三角形.
【例2】 两个全等的含30,60角的三角板ADE 和三角板ABC ,如
图所示放置,,,E A C 三点在一条直线上,连接BD ,取BD 的
中点M ,连接ME ,MC .试判断EMC △的形状,并说明理由.
【解析】EMC △是等腰直角三角形.
证明:连接AM .由题意,得
,90,90.DE AC DAE BAC DAB =∠+∠=∠=
∴DAB △为等腰直角三角形. ⑴DM MB =,
⑴,45MA MB DM MDA MAB ==∠=∠=. ⑴105MDE MAC ∠=∠=, ⑴EDM △⑴CAM △.
⑴,EM MC DME AMC =∠=∠.
又90EMC EMA AMC EMA DME ∠=∠+∠=∠+∠=. ⑴CM EM ⊥,
⑴EMC △是等腰直角三角形.
【例3】 已知:如图,ABC △中,AB AC =,90BAC ∠=°,D 是AC 的中
点,AF BD ⊥于E ,交BC 于F ,连接DF . 求证:ADB CDF ∠=∠. 【解析】 证法一:如图,过点A 作AN BC ⊥于N ,交BD 于M .
∵AB AC =,90BAC ∠=°, ∴345DAM ∠=∠=°. ∵45C ∠=°,∴3C ∠=∠. ∵AF BD ⊥,∴190BAE ∠+∠=° ∵90BAC ∠=°,∴290BAE ∠+∠=°. ∴12∠=∠.
在ABM △和CAF △中,
M E
D
C
B
A M
E
D
C
B
A
F
E D
C
B A
N
M 12A B
C
D E
F
3
123AB AC C ∠=∠⎧⎪
=⎨⎪∠=∠⎩
∴ABM CAF △≌△.∴AM CF =. 在ADM △和CDF △中, AD CD DAM C AM CF =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴ADM CDF △≌△. ∴ADB CDF ∠=∠.
证法二:如图,作CM AC ⊥交AF 的延长线于M . ⑴AF BD ⊥,⑴3290∠+∠=°, ⑴90BAC ∠=°, ⑴1290∠+∠=°, ⑴13∠=∠.
在ACM △和BAD △中, 1390AC AB
ACM BAD ∠=∠⎧⎪
=⎨⎪∠=∠=⎩
° ⑴ACM BAD △≌△. ⑴M ADB ∠=∠,AD CM = ⑴AD DC =,⑴CM CD =. 在CMF △和CDF △中, 45=⎧⎪
∠=∠=⎨⎪=⎩
CF CF MCF DCF CM CD ° ⑴CMF CDF △≌△.⑴M CDF ∠=∠ ⑴ADB CDF ∠=∠.
【例4】 如图,等腰直角ABC △中,90AC BC ACB =∠=,°,P 为ABC △内部一点,满足
求证:15BCP ∠=︒. PB PC AP AC ==,,
M
1
2A B
C
D
E
F 3
P
C
B
A P
C
B
A
D