全国各地导数压轴题汇编1、（2016年全国卷Ｉ理数）
已知函数 f x有两个零点
2
(x)(x2)e a(x1)
（I）求a的取值范围
（II）设x1,x2是f(x)的两个零点，求证：x1x2 2 学习资料
2、（2016年全国卷Ｉ文数）
已知函数 f x
(x)(x2)e a(x
2 1)
（I）讨论f(x)的单调性
（II）若f(x)有两个零点，求a的取值范围学习资料
3、（2016 年全国卷II 理数）
(I )讨论函数 f (x) x 2
x 2
x x
e 的单调性，并证明当x >0 时，( 2) 2 0;
x e x
(II )证明：当 a [0,1) 时，函数
x
e ax a
g x = ( x 0)
2
x
h( a) ，求函数h( a) 的值域. 学习资料
4、（2016 年全国卷II 文数）
已知函数 f (x) (x 1)ln x a(x 1) .
（I ）当a4时，求曲线y f (x) 在1,f (1) 处的切线方程；
(II) 若当x 1,时， f ( x)＞0 ，求a 的取值范围.
5、（2016 年全国卷III 理数）
设函数 f (x) a cos 2x (a 1)(cos x 1) 其中a＞0，记| f (x) |的最大值为A （Ⅰ）求 f (x) ；
（Ⅱ）求A；
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（Ⅲ）证明 f (x) 2A
6、（2016 年全国卷III 文数）设函数f (x) ln x x 1. （Ⅰ）讨论 f ( x) 的单调性；
（Ⅱ）证明当x (1, ) 时， 1 x
ln
1
x
x ；
x
（Ⅲ）设c 1，证明当x (0,1)时，1 ( 1)
c x c . 学习资料
7、（2016年天津理数）
3
其中a,b R 设函数f(x)(x1)ax b,x R
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(Ⅰ)求f(x)的单调区间；
(Ⅱ)若f(x)存在极点x0，且f(x1)f(x0)其中x1x0，求证：x12x03；
(Ⅲ)设a0，函数g(x)|f(x)|,求证：g(x)在区间[0,2]上的最大值不．小．于．1 4
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考
8、（2016年四川理数）
设函数f(x)ax2a ln x其中a R （Ⅰ）讨
论f(x)的单调性；
（Ⅱ）确定a的所有可能取值，使得 f
1
1x
(x)e在区间（1，+∞）内恒成立(e=2.718⋯x
为自然对数的底
数)。学习资料
9、（2016 年山东理数）
已知
2x 1
f (x) a x ln x ,a R
2
x
.
（Ⅰ）讨论 f (x) 的单调性；
（Ⅱ）当 a 1时，证明( ) ' 3
f x ＞f x 对于任意的x 1,2 成立
2
学习资料
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x x
2、(I) f ' x x 1 e 2a x 1 x 1 e 2a .
(i)设a0 ，则当x ,1 时，f ' x 0；当x 1, 时， f ' x 0 .
所以在,1 单调递减，在1, 单调递增.
(ii)设a 0，由f ' x 0得x=1 或x=ln(-2a).
①若
e
x
a ，则' 1
f x x e e ，所以f x 在, 单调递增.
2
②若
e
a ，则ln(-2a)<1,故当x ,ln 2a 1, 时， f ' x 0；
2
当x ln 2a ,1 时，f ' x 0，所以f x 在,ln 2a , 1, 单调递增，在ln 2a ,1 单调递减.
③若
e
a ，则l n 2a 1，故当x ,1 ln 2a , 时， f ' x 0，
2
当x 1,ln 2a 时， f ' x 0，所以 f x 在,1 , ln 2a , 单调递增，在1,ln 2a 单调递减.
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(II)(i)设a 0，则由(I)知， f x 在,1 单调递减，在1, 单调递增.
b a
又f 1 e，f 2 a ，取 b 满足b<0 且ln
2 2
，
则
a 2 3 3
f b b a b a b b ，所以f x 有两个零点.
2 1 0
2 2
x
(ii)设a =0，则f x x 2 e 所以f x 有一个零点.
(iii) 设a<0，若
e
a ，则由(I)知， f x 在1, 单调递增.
2
又当x 1时， f x <0，故 f x 不存在两个零点；若
e
a ，则由(I)知，f x 在
2
1,ln 2a 单调递减，在ln 2a , 单调递增.又当x 1时f x <0，故f x 不存在两个零点. 综上，a 的取值范围为0, .
3、试题解析：（Ⅰ） f ( x) 的定义域为( , 2) ( 2, ) .
x x 2 x
(x 1)( x2)e (x 2)e x e
f '(x) 0,
2 2
( x 2) (x2)
且仅当x 0时， f '( x) 0 ，所以 f (x) 在( , 2),( 2, ) 单调递增，
因此当x (0, ) 时， f (x) f (0) 1,
x x
所以( 2) ( 2),( 2) 2 0
x e x x e x
（II）
x
(x2) e a(x 2) x 2
g( x) ( f (x) a),
2 2
x x
由（I）知， f (x) a 单调递增，对任意 a [0,1), f (0) a a 1 0, f (2) a a 0, 因此，存在唯一x0 (0, 2], 使得 f (x0) a 0,即g '( x0 ) 0，
