一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点P在线段BC上（不含点B），∠BPE=1
2
∠ACB，PE交BO于点E，过点B作BF⊥PE，垂足为F，交AC于点G．（1）当点P与点C重合时（如图1）．求证：△BOG≌△POE；
（2）通过观察、测量、猜想：BF
PE
=，并结合图2证明你的猜想；
（3）把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变（如图3），若∠ACB=α，求BF PE
的
值．（用含α的式子表示）
【答案】（1）证明见解析（2）
1
2
BF
PE
=（3）
1
tan
2
BF
PE
α
=
【解析】
解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，P与C重合，
∴OB="OP" ，∠BOC=∠BOG=90°．
∵PF⊥BG ，∠PFB=90°，∴∠GBO=90°—∠BGO，∠EPO=90°—∠BGO．∴∠GBO=∠EPO ．∴△BOG≌△POE（AAS）．
（2）BF1
PE2
=．证明如下：
如图，过P作PM//AC交BG于M，交BO于N，
∴∠PNE=∠BOC=900，∠BPN=∠OCB．
∵∠OBC=∠OCB =450，∴∠NBP=∠NPB．
∴NB=NP．
∵∠MBN=900—∠BMN，∠NPE=900—∠BMN，∴∠MBN=∠NPE．
∴△BMN ≌△PEN （ASA ）．∴BM=PE ．
∵∠BPE=
1
2
∠ACB ，∠BPN=∠ACB ，∴∠BPF=∠MPF ． ∵PF ⊥BM ，∴∠BFP=∠MFP=900．
又∵PF=PF ， ∴△BPF ≌△MPF （ASA ）．∴BF="MF" ，即BF=1
2
BM ． ∴BF=
12PE ， 即
BF 1
PE 2
=． （3）如图，过P 作PM//AC 交BG 于点M ，交BO 于点N ，
∴∠BPN=∠ACB=α，∠PNE=∠BOC=900．
由（2）同理可得BF=1
2
BM ， ∠MBN=∠EPN ． ∵∠BNM=∠PNE=900，∴△BMN ∽△PEN ．
∴
BM BN
PE PN
=． 在Rt △BNP 中，BN tan =PN α， ∴
BM =tan PE α，即2BF
=tan PE
α． ∴
BF 1
=tan PE 2
α． （1）由正方形的性质可由AAS 证得△BOG ≌△POE ．
（2）过P 作PM//AC 交BG 于M ，交BO 于N ，通过ASA 证明△BMN ≌△PEN 得到BM=PE ，通过ASA 证明△BPF ≌△MPF 得到BF=MF ，即可得出
BF 1
PE 2
=的结论． （3）过P 作PM//AC 交BG 于点M ，交BO 于点N ，同（2）证得BF=1
2
BM ， ∠MBN=∠EPN ，从而可证得△BMN ∽△PEN ，由BM BN PE PN =和Rt △BNP 中BN
tan =PN
α即可求得
BF 1
=tan PE 2
α．
2．（2013年四川攀枝花12分）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 是梯形，AB ∥CD ，点B （10，0），C （7，4）．直线l 经过A ，D 两点，且sin ∠2
．动点P
在线段AB上从点A出发以每秒2个单位的速度向点B运动，同时动点Q从点B出发以每秒5个单位的速度沿B→C→D的方向向点D运动，过点P作PM垂直于x轴，与折线
A→D→C相交于点M，当P，Q两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设点P，Q运动的时间为t秒（t＞0），△MPQ的面积为S．
（1）点A的坐标为，直线l的解析式为；
（2）试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围；
（3）试求（2）中当t为何值时，S的值最大，并求出S的最大值；
（4）随着P，Q两点的运动，当点M在线段DC上运动时，设PM的延长线与直线l相交于点N，试探究：当t为何值时，△QMN为等腰三角形？请直接写出t的值．
【答案】解：（1）（﹣4，0）；y=x+4．
（2）在点P、Q运动的过程中：
①当0＜t≤1时，如图1，
过点C作CF⊥x轴于点F，则CF=4，BF=3，由勾股定理得BC=5．
过点Q作QE⊥x轴于点E，则BE=BQ•cos∠CBF=5t•3
5
=3t．
∴PE=PB﹣BE=（14﹣2t）﹣3t=14﹣5t，
S=1
2
PM•PE=
1
2
×2t×（14﹣5t）=﹣5t2+14t．
②当1＜t≤2时，如图2，
过点C、Q分别作x轴的垂线，垂足分别为F，E，则CQ=5t﹣5，PE=AF﹣AP﹣EF=11﹣2t﹣（5t﹣5）=16﹣7t．
S=1 2
PM•PE=
1
2
×2t×（16﹣7t）=﹣7t2+16t．
③当点M与点Q相遇时，DM+CQ=CD=7，
即（2t﹣4）+（5t﹣5）=7，解得t=
16
7
．
当2＜t＜
16
7
时，如图3，
MQ=CD﹣DM﹣CQ=7﹣（2t﹣4）﹣（5t﹣5）=16﹣7t，
S=
1
2
PM•MQ=
1
2
×4×（16﹣7t）=﹣14t+32．
综上所述，点Q与点M相遇前S与t的函数关系式为
()
()
2
2
5t14t0S{7t16t116
14t3227
-+≤
=-+≤
⎛⎫
-+ ⎪
⎝⎭
．（3）①当0＜t≤1时，
2
2
749
S5t14t5t
55
⎛⎫
=-+=--+
⎪
⎝⎭
，
∵a=﹣5＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线t=7
5
，
∴当0＜t≤1时，S随t的增大而增大．
∴当t=1时，S有最大值，最大值为9．
②当1＜t≤2时，
2
2
864
S7t16t7t
77
⎛⎫
=-+=--+
⎪
⎝⎭
，
∵a=﹣7＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线t=8
7
，
∴当t=8
7
时，S有最大值，最大值为
64
7
．
③当2＜t＜
16
7
时，S=﹣14t+32
∵k=﹣14＜0，∴S随t的增大而减小．
又∵当t=2时，S=4；当t=
16
7
时，S=0，∴0＜S＜4．
综上所述，当t=
8
7
时，S有最大值，最大值为
64
7
．
