立体几何常见题型归纳(可编辑修改word版)

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立体几何常见题型归纳

考点 1 概念辨析

例 1、设 m ，n 是两条不同的直线，,,是三个不同的平面，给出下列四个说法：

① m ⊥, n //⇒ m ⊥ n ；②// ,//, m ⊥⇒ m ⊥ ；③ m //, n //⇒ m // n

④⊥ ,⊥ ⇒// ，说法正确的序号是：

例 2 、 对 于 平 面

和 共 面 的 直 线 m 、 n , 下 列 命 题 中 真 命 题 是

（

） （A ）若 m ⊥, m ⊥ n , 则 n ∥

（B ） 若 m ∥

, n ∥, 则 m ∥n

（C ）若 m ⊂

, n ∥, 则 m ∥n

（D ）若m 、n 与

所成的角相等，则 m ∥n

辨析：

（1） 两条异面直线在同一平面内射影一定是相交的两条直线.（ ）

（2） 在平面内射影是直线的图形一定是直线. （ ）

（3） 直线 a 与平面

内一条直线平行，则 a ∥ .（ ） （4） 两条平行线中一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面. （ ） （5） 平行于同一直线的两个平面平行. （ ） （6）平行于同一个平面的两直线平行. （ ）

（7） 直线 a 与平面

内一条直线相交，则 a 与平面相交. （

）

（8） 直线 l 与平面、所成角相等，则∥ .（

）

（9） 垂直于同一平面的两个平面平行. （ ） （10）垂直于同一直线的两个平面平行.

（

）

（11） 垂直于同一平面的两条直线平行. （ ） （12） 若直线 a 与平面平行，则内必存在无数条直线与 a 平行. （

）

（13） 有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱. （

）（14）各侧面都是正方形的棱柱一定是

正棱柱. （ ）

考点 2 三视图

例 1、下图是一个多面体的三视图，则其全面积为

例2、如图，一个空间几何体的正(主)视图、侧(左)视图都是面积为 ，

2

且一个内角为 60°的菱形，俯视图为正方形，那么这个几何体的表面 2

积为

例 3、已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位： cm ），那么可得这个几何体的体积是

正 视

左 视

俯 视

（例 3 图）

1

1

2

2

C

3 6

例 3、一个几何体的三视图 如图所 示，则这个几何体的体

积等于(

)

1 3 1 3

2

3 5 3 A. a 6

B. a 2

C. a 3

D. a 6

例 4、一个五面体的三视图如图，正(主)视图与侧(左)视图都是等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，部分边长如图所示，则此五面体的体积为 ．

C 1

A 1

B 1

A

B

例 3

例 4

例 5

例 5、如图，三棱柱的侧棱长为 2，底面是边长为 1 的正三角形， AA 1 ⊥ 面A 1B 1C 1 ，正视图

是长为 2，宽为 1 的矩形,则该三棱柱的侧视图（或左视图）的面积为

考点 3 球

例 1、在三棱锥 A - BCD 中， 侧棱 AB 、 AC 、 AD 两两垂直， ∆ABC 、 ∆ACD 、

∆ADB 的面积分别为

2 、 、 ，则该三棱锥外接球的表面积

2 2

例 2、正方体的内切球与其外接球的体积之比为

，正四面体外接球与内切球半径之

比为

例 3、已知球面上的三个点 A 、B 、C ，且 AB ＝6，BC ＝8，AC ＝10，球半径 R ＝15，则球心到平面 ABC 的距离是

例 4、已知三棱锥 S —ABC 的各顶点都在一个半径为 r 的球面上，球心 O 在 AB 上，SO ⊥

2

底面ABC，AC

＝2r，则球的体积与三棱锥体积之比是

例5、如图所示，已知球O 的面上四点A、B、C、D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝

3，则球O 的体积等于

例6、表面积为2 的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为

例7、棱长为2 的正四面体的四个顶点都在同一个球面上, 若过该球球心的一个截面如

图1,则图中三角形(正四面体的截面)的面积是

例8、用与球心距离为 1 的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为

考点4 平行与垂直

例1、如图（1）是一正方体的表面展开图，MN 和PB 是两条面对角线，请在图（2）的正

方体中将MN 和PB 画出来，并就这个正方体解决下面问题．

（1）求证：MN//平面PBD；

（2）求证：AQ⊥平面PBD；

（3）求二面角P—DB—M 的正切值．

例2、如图，已知矩形ABCD 中，AB=10，BC=6，将矩形沿对角线BD 把△ABD 折起，使A

移到A1 点，且A1 在平面BCD 上的射影O 恰好在CD 上．

（Ⅰ）求证：BC ⊥A1D ；

（Ⅱ）求证：平面A1BC ⊥平面A1BD ；

（Ⅲ）求三棱锥A1-BCD 的体积．

例3、如图，四棱锥P—ABCD 的底面ABCD 为正方形，PD⊥底面ABCD，

PD=AD．求证：（1）平面PAC⊥平面PBD；

（2）求PC 与平面PBD 所成的角；

例4、如图，正三棱柱ABC -A

1

B

1

C

1

的所有棱长都为2 ， D 为CC

1

中点．

A A

1

C

D C1

3

图 1