九年级圆 几何综合单元测试卷(解析版)

九年级圆 几何综合单元测试卷（解析版）

一、初三数学 圆易错题压轴题（难）

1．如图，以A （0，3）为圆心的圆与x 轴相切于坐标原点O ，与y 轴相交于点B ，弦BD

的延长线交x 轴的负半轴于点E ，且∠BEO ＝60°，AD 的延长线交x 轴于点C ．

（1）分别求点E 、C 的坐标；

（2）求经过A 、C 两点，且以过E 而平行于y 轴的直线为对称轴的抛物线的函数解析式； （3）设抛物线的对称轴与AC 的交点为M ，试判断以M 点为圆心，ME 为半径的圆与⊙A 的位置关系，并说明理由．

【答案】（1）点C 的坐标为（－3，0）（2）2343333

y x x =++3）⊙M 与⊙A 外切 【解析】

试题分析：（1）已知了A 点的坐标，即可得出圆的半径和直径，可在直角三角形BOE 中，根据∠BEO 和OB 的长求出OE 的长进而可求出E 点的坐标，同理可在直角三角形OAC 中求出C 点的坐标；

（2）已知了对称轴的解析式，可据此求出C 点关于对称轴对称的点的坐标，然后根据此点坐标以及C ，A 的坐标用待定系数法即可求出抛物线的解析式；

（3）两圆应该外切，由于直线DE ∥OB ，因此∠MED=∠ABD ，由于AB=AD ，那么

∠ADB=∠ABD ，将相等的角进行置换后可得出∠MED=∠MDE ，即ME=MD ，因此两圆的圆心距AM=ME+AD ，即两圆的半径和，因此两圆外切.

试题解析：（1）在Rt△EOB 中，3

cot60232EO OB =⋅︒==， ∴点E 的坐标为（－2，0）．

在Rt△COA 中，tan tan60333OC OA CAO OA =⋅∠=⋅︒==， ∴点C 的坐标为（－3，0）．

（2）∵点C 关于对称轴2x =-对称的点的坐标为F （－1，0）， 点C 与点F （－1，0）都在抛物线上． 设()()13y a x x =++，用(03A ，代入得

()()30103a =++，

∴3

3

a =． ∴()()3

13y x x =

++，即 2343333

y x x =

++． （3）⊙M 与⊙A 外切，证明如下： ∵ME ∥y 轴，

∴MED B ∠=∠．

∵B BDA MDE ∠=∠=∠， ∴MED MDE ∠=∠． ∴ME MD =．

∵MA MD AD ME AD =+=+， ∴⊙M 与⊙A 外切．

2．如图，∠ABC=45°，△ADE 是等腰直角三角形，AE=AD ，顶点A 、D 分别在∠ABC 的两边BA 、BC 上滑动（不与点B 重合），△ADE 的外接圆交BC 于点F ，点D 在点F 的右侧，O 为圆心．

（1）求证：△ABD ≌△AFE

（2）若AB=42，82＜BE ≤413，求⊙O 的面积S 的取值范围．

【答案】（1）证明见解析（2）16π＜S ≤40π

【解析】试题分析：（1）利用同弧所对的圆周角相等得出两组相等的角，再利用已知AE=AD ，得出三角形全等；（2）利用△ABD ≌△AFE ，和已知条件得出BF 的长，利用勾股定理和2＜BE 13EF,DF 的取值范围， 24

S DE π

=

，所以利用二次函

数的性质求出最值. 试题解析：（1）连接EF ，

∵△ADE 是等腰直角三角形，AE=AD ， ∴∠EAD=90°，∠AED=∠ADE=45°， ∵AE AE = ， ∴∠ADE=∠AFE=45°， ∵∠ABD=45°，

∴∠ABD=∠AFE ， ∵AF AF =， ∴∠AEF=∠ADB ， ∵AE=AD ， ∴△ABD ≌△AFE ； （2）∵△ABD ≌△AFE ， ∴BD=EF ，∠EAF=∠BAD ， ∴∠BAF=∠EAD=90°， ∵42AB = ， ∴BF=

42

cos cos45

AB ABF =∠=8，

设BD=x ，则EF=x ，DF=x ﹣8， ∵BE 2

=EF 2

+BF 2

， 82＜BE ≤413 ，

∴128＜EF 2+82

≤208， ∴8＜EF ≤12，即8＜x ≤12， 则()22284

4S DE x x π

π⎡⎤==

+-⎣

⎦=()2

482

x ππ-+，

∵

2

π

＞0， ∴抛物线的开口向上， 又∵对称轴为直线x=4，

∴当8＜x ≤12时，S 随x 的增大而增大， ∴16π＜S ≤40π．

点睛：本题的第一问解题关键是找到同弧所对的圆周角，第二问的解题关键是根据第一问的结论计算得出有关线段的长度，由于出现线段的取值范围，所以在这个问题中要考虑勾股定理的问题，还要考虑圆的面积问题，得出二次函数，利用二次函数的性质求出最值.

3．如图所示，CD 为⊙O 的直径，点B 在⊙O 上，连接BC 、BD ，过点B 的切线AE 与CD 的延长线交于点A ，OE//BD ，交BC 于点F ，交AB 于点E. （1）求证：∠E=∠C ；

（2）若⊙O 的半径为3，AD=2，试求AE 的长； （3）在（2）的条件下，求△ABC 的面积.

【答案】（1）证明见解析；（2）10；（3）48 5

.

【解析】

试题分析：（1）连接OB，利用已知条件和切线的性质证明：OE∥BD，即可证明：

∠E=∠C；

（2）根据题意求出AB的长，然后根据平行线分线段定理，可求解；

（3）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可求解.

试题解析：（1）如解图，连接OB，

∵CD为⊙O的直径，

∴∠CBD＝∠CBO＋∠OBD＝90°，

∵AB是⊙O的切线，

∴∠ABO＝∠ABD＋∠OBD＝90°，

∴∠ABD＝∠CBO.

∵OB、OC是⊙O的半径，

∴OB＝OC，∴∠C＝∠CBO.

∵OE∥BD，∴∠E＝∠ABD，

∴∠E＝∠C；

（2）∵⊙O的半径为3，AD＝2，

∴AO＝5，∴AB＝4.

∵BD∥OE，

∴＝，

∴＝，

∴BE＝6，AE=6+4=10

（3）S △AOE==15，然后根据相似三角形面积比等于相似比的平方可得

S△ABC= S△AOE==

4．已知：在△ABC中，AB=6，BC=8，AC=10，O为AB边上的一点，以O为圆心，OA长为半径作圆交AC于D点，过D作⊙O的切线交BC于E.