微积分下册知识点
第一章 空间解析几何与向量代数 （一） 向量及其线性运算
1、 向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面；
2、 线性运算：加减法、数乘；
3、 空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式；
4、 利用坐标做向量的运算：设),,(z y x a a a a =ρ
，),,(z y x b b b b =ρ，
则 ),,(z z y y x x b a b a b a b a ±±±=±ρ
ρ, ),,(z y x a a a a λλλλ=ρ；
5、 向量的模、方向角、投影：
1） 向量的模：
222z y x r ++=ρ；
2） 两点间的距离公式：2
12212212)()()(z z y y x x B A -+-+-=
3） 方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角γβα,,
4） 方向余弦：r
z r y r x ρρρ===γβαcos ,cos ,cos 1cos cos cos 222=++γβα
5） 投影：ϕcos Pr a a j u
ρρρ=，其中ϕ为向量a ρ与u ρ的夹角。
（二） 数量积，向量积
1、 数量积：θ
cos b a b a ρ
ρρρ=⋅
1）2a a a ρρρ=⋅
2）⇔⊥b a ρρ0=⋅b a ρ
ρ z z y y x x b a b a b a b a ++=⋅ρ
ρ
2、 向量积：b a c ρ
ρρ⨯=
大小：θsin b a ρρ，方向：c b a ρ
ρρ,,符合右手规则
1）0ρρ=⨯a a
2）b a ρρ//⇔0ρρρ=⨯b a
z
y x z
y x b b b a a a k
j i b a ρρρρ
ρ=⨯
运算律：反交换律 b a a b ρ
ρρρ⨯-=⨯
（三） 曲面及其方程 1、 曲面方程的概念：0),,(:=z y x f S
2、 旋转曲面：
yoz 面上曲线0),(:=z y f C ，
绕y 轴旋转一周：0),(2
2=+±z x y f 绕
z 轴旋转一周：
0),(22=+±z y x f
3、 柱面：
0),(=y x F 表示母线平行于z 轴，准线为⎪⎩⎪⎨⎧==0
0),(z y x F 的柱面
4、 二次曲面（不考）
1） 椭圆锥面：2
22
22z b
y a x =+
2） 椭球面：122
222
2=++c z
b y a x
旋转椭球面：122
222
2=++c
z a y a x
3） 单叶双曲面：122
222
2=-+c z b y a x
4） 双叶双曲面：122
222
2=--c
z b y a x
5） 椭圆抛物面：z b
y a x =+22
2
2
6） 双曲抛物面（马鞍面）：z b y
a x =-22
2
2
7） 椭圆柱面：122
2
2=+b y a x
8） 双曲柱面：122
2
2=-b
y a x
9） 抛物柱面：
ay x =2
（四） 空间曲线及其方程
1、 一般方程：⎪⎩
⎪⎨⎧==0),,(0
),,(z y x G z y x F
2、 参数方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x ，如螺旋线：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===bt z t a y t a x sin cos
3、 空间曲线在坐标面上的投影
⎪⎩⎪⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F ，消去z ，得到曲线在面xoy 上的投影⎪⎩⎪⎨⎧==0
),(z y x H
（五） 平面及其方程
1、 点法式方程：0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A
法向量：),,(C B A n =ρ
，过点),,(000z y x
2、 一般式方程：0=+++D Cz By Ax
截距式方程：
1=++c
z
b y a x 3、 两平面的夹角：),,(1111C B A n =ρ，),,(2222C B A n =ρ，
22
22
22
21
21
2
1
2
12121cos C
B A
C B A C C B B A A ++⋅++++=
θ
⇔∏⊥∏21 0212121=++C C B B A A ⇔∏∏21//
21
2121C C B B A A ==
4、 点),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离：
2
2
2
000C
B A D
Cz By Ax d +++++=
（六） 空间直线及其方程
