上海市闵行区2018届高三二模数学试卷
2018.04
一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）
1. 双曲线22
219
x y a -=（0a >）的渐近线方程为320x y ±=，则a =
2. 若二元一次方程组的增广矩阵是121234c c ⎛⎫ ⎪
⎝
⎭，其解为10
0x y =⎧⎨=⎩，则12c c += 3. 设m ∈R ，若复数(1)(1)z mi i =++在复平面内对应的点位于实轴上，则m =
4. 定义在R 上的函数()21x f x =-的反函数为1()y f x -=，则1(3)f -=
5. 直线l 的参数方程为112x t
y t =+⎧⎨
=-+⎩
（t 为参数），则l 的一个法向量为
6. 已知数列{}n a ，其通项公式为31n a n =+，*n N ∈，{}n a 的前n 项和为n S ，则lim n
n n
S n a →∞=⋅
7. 已知向量a 、b 的夹角为60°，||1a =，||2b =，若(2)()a b xa b +⊥-，则实数x 的值为 8. 若球的表面积为100π，平面α与球心的距离为3，则平面α截球所得的圆面面积为 9. 若平面区域的点(,)x y 满足不等式||||
14
x y k +≤（0k >），且z x y =+的最小值为5-， 则常数k =
10. 若函数2
()log (1)a f x x ax =-+（0a >且1a ≠）没有最小值，则a 的取值范围是
11. 设1234,,,{1,0,2}x x x x ∈-，那么满足12342||||||||4x x x x ≤+++≤的所有有序数对
1234(,,,)x x x x 的组数为
12. 设*n N ∈，n a 为(4)(1)n n x x +-+的展开式的各项系数之和，3
24
c t =
-，t ∈R ， 1222[][][]555
n n n na a a
b =++⋅⋅⋅+（[]x 表示不超过实数x 的最大整数），则22()()n n t b
c -++
的最小值为
二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. “0xy =”是“0x =且0y =”成立的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件
D. 既非充分也非必要条件
14. 如图，点A 、B 、C 分别在空间直角坐标系O xyz - 的三条坐标轴上，(0,0,2)OC =，平面ABC 的法向量为
(2,1,2)n =，设二面角C AB O --的大小为θ，则
cos θ=（ ）
A. 43
B. C. 23 D. 2
3
-
15. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列判断一定正确的是（ ） A. 若30S >，则20180a > B. 若30S <，则20180a < C. 若21a a >，则20192018a a > D. 若21
11
a a >，则20192018a a <
16. 给出下列三个命题：
命题1：存在奇函数()f x （1x D ∈）和偶函数()g x （2x D ∈），使得函数()()f x g x （12x D D ∈）
是偶函数；
命题2：存在函数()f x 、()g x 及区间D ，使得()f x 、()g x 在D 上均是增函数，但()()f x g x 在D 上是减函数；
命题3：存在函数()f x 、()g x （定义域均为D ），使得()f x 、()g x 在0x x =（0x D ∈）处均取到最大值，但()()f x g x 在0x x =处取到最小值； 那么真命题的个数是（ ）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）
17. 如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是AB 、1CC 的中点. （1）求三棱锥E DFC -的体积；
（2）求异面直线1A E 与1D F 所成的角的大小.
18. 已知函数()cos f x x x ωω=+. （1）当()03
f π
-=，且||1ω<，求ω的值；
（2）在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，a =3b c +=，当2ω=，()1f A =时，求bc 的值.
19. 某公司利用APP 线上、实体店线下销售产品A ，产品A 在上市20天内全部售完，据统计，线上日销售量()f t 、线下日销售量()g t （单位：件）与上市时间t （*t N ∈）天的关 系满足：10110
()102001020t t f t t t ≤≤⎧
=⎨
-+<≤⎩，2()20g t t t =-+（120t ≤≤），产品A 每件的
销售利润为40115
()201520t h t t ≤≤⎧=⎨
<≤⎩
（单位：元）（日销售量=线上日销售量+线下日销售量）.
（1）设该公司产品A 的日销售利润为()F t ，写出()F t 的函数解析式； （2）产品A 上市的哪几天给该公司带来的日销售利润不低于5000元？
20. 已知椭圆22
22:1x y a b
Γ+=（0a b >>），其左、右焦点分别为1F 、2F ，上顶点为B ，O 为坐标
原点，过2F 的直线l 交椭圆Γ于P 、Q
两点，1sin BF O ∠=.
（1）若直线l 垂直于x 轴，求12||
||PF PF 的值；
（2
）若b =l 的斜率为1
2
，则椭圆Γ上是否存在一点E ，使得1F 、E 关于直线l
成轴对称？如果存在，求出点E 的坐标，如果不存在，请说明理由；
（3
）设直线1:l y =上总存在点M 满足2OP OQ OM +=，当b 的取值最小时，求直线l 的倾斜角α.
