高三一轮复习函数专题1---函数的基本性质

函数专题1、函数的基本性质

复习提问：

1、如何判断两个函数是否属于同一个函数。

2、如何求一个函数的定义域（特别是抽象函数的定义域问题）

3、如何求一个函数的解析式。（常见方法有哪些）

4、如何求函数的值域。（常见题型对应的常见方法）

5、函数单调性的判断，证明和应用（单调性的应用中参数问题）

6、函数的对称性（包括奇偶性）、周期性的应用

7、利用函数的图像求函数中参数的范围等其他关于图像问题 知识分类

一、函数的概念：函数的定义含有三个要素，即定义域A 、值域C 和对应法则f .当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定.因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数. 1、试判断以下各组函数是否表示同一函数？

（1）f （x ）=2x ，g （x ）=3

3x ；

（2）f （x ）=

x x |

|，g （x ）=⎩

⎨⎧<-≥;01,01x x

（3）f （x ）=

1

212++n n x ，g （x ）=（12-n x ）2n －1（n ∈N *）；

（4）f （x ）=x

1+x ，g （x ）=x x +2；

（5）f （x ）=x 2－2x －1，g （t ）=t 2－2t －1.

二、函数的定义域（请牢记：凡是说定义域范围是多少，都是指等式中变量x 的范围） 1、求下列函数的定义域：

(1)ｙ＝－221x ＋１(2)ｙ＝422--x x (3)x x y +=1 (4)ｙ＝241+-+-x x

(5)ｙ＝

3

1

42-+

-x x (8)ｙ＝3-ax （ａ为常数）

2、（1）已知f (x )的定义域为 [ 1，2 ] ，求f (2x -1)的定义域； （2）已知f (2x -1)的定义域为 [ 1，2 ]，求f (x )的定义域；

3、若函数)(x f y =的定义域为[ 1，1]，求函数

)41(+=x f y )

41

(-⋅x f 的定义域 5、已知函数682-+-=

k x kx y 的定义域为R ，求实数k 的取值范围。

三、函数的解析式

求函数解析式常用的几种方法：待定系数法、换元法（代换法）、解方程法、 1、换元（或代换）法：

1、已知,1

1)1(2

2x x x x x f ++=+求)(x f .

2、已知ｆ（

x ＋１）＝ｘ＋２x ，求ｆ(ｘ)的解析式

3、已知函数2

(1)4f x x x -=-，求函数()f x ，(21)f x +的解析式。

2、待定系数法

1、已知函数ｆ（ｘ）是一次函数，且满足关系式3ｆ（ｘ＋1）－２ｆ（ｘ－1）＝２ｘ＋１７，求ｆ(ｘ)的解析式

2、已知()f x 是二次函数，且2

(1)(1)24f x f x x x ++-=-，求()f x 的解析式。

3、解方程法

(1)、已知函数)(x f 满足x x

f x f 3)1

(2)(=+，求)(x f

（2）、已知函数)(x f 为偶函数，)(x g 为奇函数，且)(x f +)(x g =1

1-x 求)(x f 、)(x g

3、已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+，则()f x = 。

4、设()f x 是R 上的奇函数，且当[0,)x ∈+∞时， ()(1f x x =+，则当(,0)x ∈-∞时()f x =____ _

()f x 在R 上的解析式为

5、设()f x 与()g x 的定义域是{|,1}x x R x ∈≠±且，()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且1()()1

f x

g x x +=-，求()f x 与()g x 的解析式

四、函数值域的求法

1、配方法：对于求二次函数2(0)y ax bx c a =++≠或可转化为形如[]2

()()()(0)f x a g x bg x c a =++≠的函数的值

域（最值）一类问题，我们常常可以通过配方法来进行求解. 例1：求二次函数2

42y x x =-+-（[]1,4x ∈）的值域.

例2：求函数342-+-=x x e

y 的值域.

例3：求函数421,[3,2]x

x

y x --=-+∈-的最大值与最小值。

2、换元法：通过引入一个或多个新变量或代数式代替原来的变量或代数式或超越式，通过换元，我们常常可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式等，这样我们就能将比较复杂的函数转化成易于求值域的函数进行求解.

例6：（整体换元） 已知[]0,2x ∈，求函数1

2

()4

325x x f x -=-⋅+的值域.

3、不等式法：

例11：求函数()()

52()1

x x f x x ++=+（1x ≠-）的值域.

例14：求函数1

222+++=

x x x y 的值域.

7、数形结合法：

例29：求函数13y x x =-+-的值域.

例30：求函数31y x x =--+的值域。（答案：[]4,4-

题型补充：

五、函数的单调性

1．函数单调性的定义：

2. 证明函数单调性的一般方法:

①定义法：设2121,x x A x x <∈且；作差)()(21x f x f -（一般结果要分解为若干个因式的乘积，且每一个因式的正或负号能清楚地判断出）；判断正负号。

②用导数证明： 若)(x f 在某个区间A 内有导数，则()0f x ≥’

，)x A ∈（

⇔)(x f 在A 内为增函数；⇔∈≤)0)(A x x f ，（’

)(x f 在A 内为减函数。 3. 求单调区间的方法：定义法、导数法、图象法。 4.复合函数[])(x g f y =在公共定义域上的单调性： ①若f 与g 的单调性相同，则[])(x g f 为增函数； ②若f 与g 的单调性相反，则[])(x g f 为减函数。 注意：先求定义域，单调区间是定义域的子集。 5．一些有用的结论：

①奇函数在其对称区间上的单调性相同； ②偶函数在其对称区间上的单调性相反； ③在公共定义域内：

增函数+)(x f 增函数)(x g 是增函数； 减函数+)(x f 减函数)(x g 是减函数； 增函数-)(x f 减函数)(x g 是增函数； 减函数-)(x f 增函数)(x g 是减函数。

④函数)0,0(>>+=b a x b ax y 在,⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭

或上单调递增；在0⎡⎫⎛⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝或上是单调递减。

1、函数24)(2

++=ax x x f 在区间)6,(-∞为减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．3≥a B ．3≤a C ．3-≥a D ．3-≤a 2、函数ax x x f 2)(2

+-=与函数1

)(+=

x a

x f 在区间[1，2]上都是减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．)1,0()0,1(Y - B ．]1,0()0,1(Y - C ．)1,0( D ． ]1,0(

3．已知函数⎩⎨

⎧≥<+-=1..................

log 1.......

)12()(x x x a x a x f a 是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是（ ）