材料力学——4梁的强度计算

M
dM
0
dM dx
FS
dFs q dx
dM dx
FS
d 2M dx2
q
dFs 0 dx dM 0 dx
FS C
dM C dx
M C
剪力图是水平直线. 弯矩图是斜直线. 弯矩图是水平直线.
dFs q dx
剪力图是斜直线. 弯矩图是二次抛物线.
若x1,x2两截面间无集中力作用,则x2截面上的FS1等于
1.微分关系的几何意义：
剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的大 小；弯矩图上某点处的切线斜率等于该点剪力的大小。
外力情况 q<0(向下)
无荷载段
剪力图上的特 征
弯矩图上的特 征
↘(向下斜直线) (下凸抛物线)
水平线 斜直线
集中力F作用 处：
突变，突变值 为F
有尖点
集中力偶M作 用处：
不变
有突变，突变 值为M
剪力和弯矩的符号规定
1）剪力Fs(Q)：截面上的剪力Fs(Q)
Fs
使所取脱离体产生顺时针转动趋势时
（或者左上右下）为正，反之为负。
Fs
2）弯矩M：截面上的弯矩M使所取
脱离体产生下边凸出的变形时（或者 左顺右逆）为正，反之为负。
为避免符号出错,要求： 未知内力均按符号规定的正向假设。
4.1
例题
FA
x2
10
4
x22 2
0 x2 4
20 31.25
kNm
三 剪力图和弯矩图——
微分关系关系法绘制
y
mn
m
M (x)
x
n
M (x) dM (x)
mn
Fs x
m
FS (x) dFS (x)
n
x
dx
q(x)
dx
Fs qxdx Fs dFs 0
dFs q dx
M
FS dx
qxdx2
2
340
四、按叠加原理绘制弯矩图
F
q
F
A
BA
B
l
l
＋ A
F
F+qL
1/2qL2+FL
FL
q B
l
qL
1/2qL2
例题 4.13
F A
m 1 Fl
4A
F
C
B
B
l2 l2
1 Fl 4
-
+ 1 Fl 8
l2 l2
+
1 Fl 4
A C
m 1 Fl 4 C
l
1 Fl
-4
例题 4.14
6kN
6kN 2kN m
mn
✓2、变形前垂直于纵向线的横向 线,变形后仍为直线，且仍与弯曲 了的纵向线正交，但两条横向线 间相对转动了一个角度。
▪平面假设：
变形前杆件的横截面变形后仍
为平面。
中性层
▪中性轴：
中性层与横截面的交线称 为中性轴。
中性轴
梁在纯弯曲时的平面假设：
梁的各个横截面在变形后仍保持为平 面，并仍垂直于变形后的轴线，只是横截 面绕某一轴旋转了一个角度。
FSG=1×1=1kN MG=6+1×1×0.5=6.5kN ·m
二、剪力图和弯矩图——用内力方程法绘制
q
A
FA
x
l
ql 2
ql
B
FS 2 qx
FB
M ql x qx2
22
ql 2
ql 2 8
例题 图示悬臂梁AB,自由端受力F的作用,试作剪力
4.4 图和弯矩图.
F AX
l
F
FS x F B M x Fx
弯矩、剪力和分布荷载集度之间的关系
内力FQ 、M 的变化规律,归纳如下：
q(x) 0 q C 0 q C 0 F
Mo
载荷
水平直线 FQ 图 + or - 上斜直线 下斜直线
F (剪力图 无突变)
斜直线
M 图 or
上凸
下凸 F处有尖角
Mo
抛物线 抛物线
利用微分关系作剪力弯矩图
1.先利用计算法则计算分段点Q、M值； 2.利用微分关系判断并画出分段点之间的Q、M图。
AC
B
D
2m 2m 2m
4
+
-
6
+
4
2kN m
2m 2m 2m
4
-
§4-3 梁横截面上的应力及强度计算 一、纯弯曲时梁横截面上的正应力
aF
A
C
F
a
D
B
纯弯曲：梁 受力弯曲后，如 其横截面上只有 弯矩而无剪力， 这种弯曲称为纯 弯曲。
实验现象：
mn
✓1、变形前互相平行的纵向直线、 变形后变成弧线，且凹边纤维缩 短、凸边纤维伸长。
解：1）求1-1截面上的内力
Y 0
P
1 2
ql
Fs1
0
Fs1
P
1 2
ql
M0 0
P
l 2
(1 2
ql)
l 4
M1
0
M1
1 2
Pl
1 8
ql 2
Fs1
求得的 Fs1 、M1 均为负值,说明内力实际
方向与假设方向相反。矩心 O 是1-1截面的形心
2）求2-2截面上的内力
Fs 2
Y 0 -P - ql - Fs2 0
kN
FL
0xL 0 x L
kNm
例题4 .5
图示外伸梁,,试作剪力图和弯矩图.
20kN 40kN m
X1 A 1m 35kN
15
20
kN
20
10kN m
4m
2.5
FS x1 20kN
X2
B
0 x1 1
25kN
M x1 20x1
0 x1 1
FS x2 25 10x2
25
M
x2
0
25x2
Y YA YB 1 8 2 2 0 校核无误；
2、梁分段：为AC,CD,DB,BE四段；
3、绘图：从左向右逐段作Q图和M图；
检验Q最后与右端P2值相等,结果无误； M极值点的确定:（由三角形的相似比）
(x 4x
3), x
14
43; x
(3 4) 1 3
3m;
MF
20
1 2
11
20.5kN
x1截面上的FS1加上两截面之间分布荷载图的面积.
FS 2 FS1
q x2
x1
x dx
dF q x dx FS2
x2
等F于S若1 xx1截1,x面S2两上截的面xM1 间1加无上集两中截力面偶之作间用剪,则力x图2截的面面上积的. M2
M2 M1
F x2
x1 S
x dx
讨论微分关系的几何意义
Fs2 = -P - ql
M0 0
P
l
(ql )
l
2
M2
0
M
2
Pl
百度文库
1 2
ql 2
求得的 Fs2 、M2 均为负值,说明内力实际方向与假设方向相反。矩心 O1
是2-2截面的形心。
直接法求梁的内力：
（1）梁任一横截面上的剪力在数值上等于该截面一侧（左侧或 右侧）所有外力沿截面方向投影的代数和；
最大弯矩可 能 剪力为零的截面 的截面位置
剪力突变的截 弯矩突变的某
面
一侧
2.其它规律：
①|M|max可能发生在剪力为零处、集中力作用处、集中力偶作用处； ②q突变反向，剪力图有尖点，弯矩图有凸凹性反转拐点；
③荷载图关于梁左右对称，则剪力图关于梁中点反对称，弯矩图左右对称 ；荷载图关于梁中点反对称，则剪力图左右对称，弯矩图关于梁中点反对称
Fs Fi
Fs
符号规定：外力使截面产生顺时针转动趋势时
（或左上右下）该截面剪力为正，否则为负；
Fs
（2）梁任一横截面上的弯矩在数值上等于该截面一侧（左 侧或右侧）所有外力对截面形心力矩的代数和；
M Mo(Fi )
符号规定：外力使梁段产生上凹下凸变形 时（或左顺右逆）该截面弯矩为正，否则为负；
dA dA
的起 止点，梁的支座和端点等）
3. 绘内力图；（先确定控制截面内力值，再按内力图特征绘图，
最后用内力图特征检验。控制截面即梁分界截面。注意P、m作用处应取
两侧截面。）
4. 确定内力最大值及其位置。从图上直接找 | Q |max,| M |max
简捷法绘梁内力图的关键是：正确确定控制截面内力 值（一般用直接法）；熟记内力图的特征。
突变，顺下逆上，大小与M 同，FS图不发生变化。
例题4.7
A FA
q
C
D
B
a
c
l
b
FB
FA +
x
-
FB
+
FAa
FBb
例题 4.8 4.9
F
Fa
a
a
F
5
kN
4
Fa
kNm
2kN m
4m 3kN
kN
3
2.25
kNm
简捷法绘梁内力图的步骤：
1. 求支座反力；（注意校核！悬臂梁可省略。） 2. 将梁分段；（以梁上荷载变化处为界，包括：P、m作用点，q
确定控制截面内力值的方法有三种：
1）截面法；（三个步骤，两套符号规定。） 2）直接法；（由外力定内力符号看梁的变形。）
3）积分法:（微分关系逆运算的应用。）
例4.10 用简捷法绘制内力图
解：1、求支座反力：
YA
1 (8 8 2 8 10 2 3) 7kN () 12
YB
1 (8 4 2 4 10 2 15) 5kN () 12
.m
M
l D
20.5 1 3 3 16kN .m
2
M
r D
16 10 6kN .m
4、确定内力最大值：|Q|max=7kN 在A端；
|M|max=20.5kN.m 在距A端5m处（在F端）。
例题
4.11
作图示梁的内力图
3kN 4.5kN m
2kN m
D
A
C
B
FA 10kN
1m 2m
2m
7
3
x 1.56 2
3
2
2.44 2
E FB 2kN 1m
kN
kNm
例题
4.12
用 直 接 法 作 图 示 梁 的 内 力 图
80kN m 160kN
C A
DE 130kN
1m 1m 2m
130
30
130
40kN m
40kN
BF
310kN
4m
2m
120
40
kN
190 160
kNm
210 280
AD段：q<0， Q图为向下斜直线， M图为上凸抛物线。
M
3
_
2.2
3、先确定各分段点的Q 、M值， 用相应形状的线条连接。
(kN·m)
+
1.41
突 变 规 律(从左向右画)
1、集中力作用处，FS图突变，方
向、大小与力同；M图斜率突 变，突变成的尖角与集中力F的 箭头是同向。
2、集中力偶作用处，M图发生
计算时可按二看一定的顺序进行：一看截面一侧有几个力，二看各力使 梁段产生的变形，最后确定该截面内力的数值。
4.3 求图示外伸梁中的A、B、C、D、E、F、 例 题 G各截面上的内力。
3kN
C A
2kN m
1kN m
6kN m
D EF BG
FA
FB
1m 1m 1m 1m 1m 1m 1m 1m
FA=5kN
Fs
单位：剪力Fs KN, N；弯矩M KN.m ， N.m
3)平衡
Y 0
Mo 0
RA Fs 0
Mo RAx 0
Fs RA
Mo RAx
若取右半段梁为研究对象,可得：
M Fs
Q' Q
Mo ' Mo
Fs ' Fs
符 号
Fs＞0
Fs＜0
规
定
：
M＞0
M＜0
使微段梁有顺时针转动趋势的剪力为正，反之为 负；使微段梁产生向下凸变形的弯矩为正，反之为 负。
第四章 梁的强度计算
杆件承受垂直于其轴线方向的外力,或在其 轴线平面内作用有外力偶时, 杆的轴线变为曲线.
以轴线变弯为主要特征的变形称为弯 曲。
§4-1 平面弯曲的概念及梁的计算简图
力学模型
F1
F2 y
杆轴
X
FA
FB
z
形心
构件几何特征
纵向对称面 构件为具有纵对称面的等截面直杆
受力特征 横向外力（或外力合力）或外力偶均作用在杆的纵向对称面内
变形特征 杆件轴线变形后为外力作用面内的平面曲线，或任意两横截面
间绕垂直于外力作用面的某一横向轴作相对转动
对称弯曲
构件的几何形状、材料性能和外力作用均 对称于杆件的纵对称面
平面弯曲
梁变形后的轴线所在平面与外力所在平面 相重合
对称弯曲必定是平面弯
F
曲，而平面弯曲不一定是
对称弯曲。
A
非对称弯曲
构件不具有纵对称面，或 虽有纵对称面但外力不作用 在纵对称面时的弯曲变形
FB=4kN
Fsc=-3kN
FsD=-3+FA=2kN
MC=-3kN ·m MD=-3×3+FA×1=-4kN ·m
FSE=-3+FA-1×2=0· ME=-3×4+FA×2-1×2×1=-4kN ·m
FSF= =-3+FA-1×3=-1kN MF=-3×5+FA×3-2=-2kN ·m
例4.6 外伸梁AB承受荷载如图所示，作该梁的Q、M图。
3kN 2kN/m
A C
1m
4m
VA
Q 4.2
(kN) +
E
_
3
x=2.1m
6kN m
B D
1m
VB
_
3.8
解： 1、求支反力 VA 7.2kN VB 3.8kN
2、判断各段Q、M图形状：
CA和DB段：q=0，Q图为水平线， M图为斜直线。
半固定梁 4（3）
作用在梁上的载荷形式
分布荷载
集中力
Me
均匀分布荷载
集中力偶
q
l 2
l
§4-2 梁的内力及内力图
一、梁的内力 F
a
FS FA
A
B
FA
l
FB
M FAx
FA x
M Fs
图示简支梁在荷载及支座反 力共同作用下处于平衡状态。
用截面法求内力
步骤：1)截开 2)代替
剪力Fs—限制梁段上下移动的内力; 弯矩 M—限制梁段转动的内力偶。
y FAy
F1
FA q
F2
杆轴
X
FB
纵向对称面 Me 纵 向
对称面
B
x
FBy
梁：以弯曲变形为主的杆件
静定梁 支座反力可以由静力平衡方程求解的梁
超静定梁 支座反力仅由静力平衡方程不能求解的梁
墙
楼板
梁 q
l
梁按支承方法的分类
悬臂梁 3（2）
简支梁 3（2）
外伸梁 3（2）
固定梁
6（4）
连续梁
4（3）
A
MA FA
A
MA
试确定截面C及截面D上的剪力和弯矩
2Fl
lC
l
FCs
l
C MC
2Fl
FCs
MC
C
l
F
B D
FCs F FCs F
MC Fl MC Fl
MC 2Fl Fl 0
F
B
D
FDs
MD
F
DB
FDs F MD 0
例4-2：悬臂梁如图所示,求1-1截面和2-2截面上的剪力 和弯矩。