中考数学专题复习学案一——规律与猜想
【专题思路剖析】
学习数学很重要的一个目的，就是要善于捕捉事物的规律，用数学形式和数学方法表示出来．规律与猜想类试题选材一般有一定的趣味性，呈现形式多样，便于学生观察，侧重考查学生观察和归纳能力，让学生从不同的角度，利用不同的方法探索并发现数学规律，并自我验证，最后用于解决相关问题，真正考查了学生的数学思考能力．
规律与猜想类试题选材一般来源于学生熟悉的生活，有一定的趣味性，呈现形式多样，便于学生观察，侧重考查学生观察和归纳能力，让学生从不同角度，利用不同方法探索并发现数学规律，同时利用发现的规律，让学生学会自我验证，真正考查了学生的数学思考能力.
规律探索型题是根据已知条件或题干所提供的若干特例,通过观察、类比、归纳,发现题目所蕴含的数字或图形的本质规律与特征的一类探索性问题.其目的是考查学生收集、分析数据,处理信息的能力,对学生的数学思维能力有着非常高的要求.这类题目一般作为"小压轴题"出现在选择、填空题。
【典型例题赏析】
类型1：数式规律
此类型题主要分以下两种: (1) 数字规律型：数字规律问题需要观察并分析题目中所给数字之间的关系，并由此总结出它们所遵循的规律; (2) 数式规律型：通过观察、分析所给等式，总结出具有规律性的结论，以列代数式的方式给出具有一般规律性的关系式，特别是等式中含有字母时，字母往往具有反映等式序号的作用.
解答数式规律探索题的一般步骤：第一步：找序数；第二步：找规律，分别比较数式中各部分与序数之间的关系，把其蕴含的规律用含序数的式子表示出来；第三步：根据找出的规律得出第n个数式．有时，也会根据计算前面几个数式，总结出循环规律，再求解.
例题1：
（2015•湖南张家界，第8题3分）任意大于1的正整数m的三次幂均可“分裂”成m个连续奇数的和，如：23=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19，…按此规律，若m3分裂后其中有一个奇数是2015，则m的值是（）
A． 46 B． 45 C． 44 D． 43
考点：规律型：数字的变化类．
分析：观察可知，分裂成的奇数的个数与底数相同，然后求出到m3的所有奇数的个数的表达式，再求出奇数2015的是从3开始的第1007个数，然后确定出1007所在的范围即可得解．
解答：解：∵底数是2的分裂成2个奇数，底数为3的分裂成3个奇数，底数为4的分裂成4个奇数，
∴m3有m个奇数，
所以，到m3的奇数的个数为：2+3+4+…+m=，
∵2n+1=2015，n=1007，
∴奇数2015是从3开始的第1007个奇数，
∵=966，=1015，
∴第1007个奇数是底数为45的数的立方分裂的奇数的其中一个，
即m=45．
故选B．
点评：本题是对数字变化规律的考查，观察出分裂的奇数的个数与底数相同是解题的关键，还要熟练掌握求和公式．
【变式练习】
（2015•广东茂名15，3分）为了求1+3+32+33+…+3100的值，可令M=1+3+32+33+…+3100，则
3M=3+32+33+34+…+3101，因此，3M﹣M=3101﹣1，所以M=，即
1+3+32+33+…+3100=，仿照以上推理计算：1+5+52+53+…+52015的值是．
考点：有理数的乘方．
分析：根据题目信息，设M=1+5+52+53+…+52015，求出5M，然后相减计算即可得解．
解答：解：设M=1+5+52+53+ (52015)
则5M=5+52+53+54 (52016)
两式相减得：4M=52016﹣1，
则M=．
故答案为．
点评：本题考查了有理数的乘方，读懂题目信息，理解求和的运算方法是解题的关键．
类型2：图形规律
解答图形排列中的规律的一般步骤为：第一步：标图形序数；第二步：找关系，找一个图形相比前一个图形中所求量之间的关系，或找出图形中的所求量与图形序数之间的关系；第三步：计算每个图形中所求量的个数；第四步：对求出的结果进行一定的变形，使其呈现一定的规律；第五步：归纳结果与序数之间的关系，即可得到第n个图形中的所求量的个数；第六步：验证．
对于图形循环变换类规律题，求经过n次变换后对应的图形的解题步骤为：第一步：通过观察，得到该组图形经过一个循环的次数，即为a；第二步：用n除以a，商b余m(0≤m ＜a)时，第n次变换后对应的图形就是一个循环变换中第m次变换后对应的图形；第三步：根据题意，找出第m次变换后对应的图形，推断出第n次变换后对应的图形．几何图形的规律探索题，可总结解题方法为：首先要仔细观察、分析图形，从中发现图形的变化特点，再将图形的变化以数或式的形式表示出来，从而得出图形的变化规律. 如果图形的变化具有周期性，要先确定循环周期及一个循环周期内图形的变化特点，然后用所求总数除以循环周期，得到余数，进而使所求问题得以解决.
例题2：
（2015•重庆A11，4分）下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有6个小圆圈，其中第②个图形中一共有9个小圆圈，其中第③个图形中一共有12个小圆圈，．．．，按此规律排列，则第⑦个图形中小圆圈的个数为（）
①②③
A. 21
B. 24
C. 27
D. 30
考点：规律型：图形的变化类．
分析：仔细观察图形，找到图形中圆形个数的通项公式，然后代入n=7 求解即可．
解答：解：观察图形得：
第 1 个图形有3+3×1=6 个圆圈，
第2 个图形有3+3×2=9 个圆圈，
第3 个图形有3+3×3=12 个圆圈，
…
第n 个图形有3+3n=3（n+1 ）个圆圈，
当n=7 时，3×（7+1 ）=24 ，
故选B．
点评：本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细观察图形并找到图形变化的通项公式，难度不大．
【变式练习】
（2014•湖北荆门,第11题3分）如图，在第1个△A1BC中，∠B=30°，A1B=CB；在边A1B 上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2=A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3=A2E，得到第3个△A2A3E，…按此做法继续下去，则第n个三角形中以A n为顶点的内角度数是（）
A．（1
2
）n•75°B．（
1
2
）n﹣1•65°C．（
1
2
）n﹣1•75°D．（
1
2
）n•85°
考点：等腰三角形的性质．专题：规律型．
