类型一：利用柯西不等式求最值
例1．求函数的最大值
解：∵且，函数的定义域为，且，
即时函数取最大值，最大值为
法二：∵且，∴函数的定义域为
由，得
即，解得∴时函数取最大值，最大值为.
当函数解析式中含有根号时常利用柯西不等式求解
【变式1】设且，求的最大值及最小值。
利用柯西不等式得,故最大值为10，最小值为-10
【变式2】已知，，求的最值.
法一：由柯西不等式
于是的最大值为，最小值为.
法二：由柯西不等式
于是的最大值为，最小值为.
【变式3】设2x+3y+5z=29，求函数的最大值．
根据柯西不等式
，
故
。
当且仅当2x+1=3y+4=5z+6，即时等号成立，此时，
变式4：设a ? (1，0，? 2)，b ? (x ，y ，z)，若x 2 ? y 2 ? z 2 ? 16，则a b 的最大值为 。
【解】∵ a
? (1，0，? 2)，b
? (x ，y ，z) ∴ a
．b
? x ? 2z 由柯西不等式[12 ? 0 ? (? 2)2](x 2 ? y 2 ? z 2) ? (x ? 0 ? 2z)2 ? 5 ? 16 ? (x ? 2z)2 ? ? 45? x ? 45
? ? 45? a ．b ? 45，故a ．b
的最大值为45:
变式5：设x ，y ，z ? R ，若x 2 ? y 2 ? z 2 ? 4，则x ? 2y ? 2z 之最小值为 时，(x ，y ，z) ? 解(x ? 2y ? 2z)2 ? (x 2 ? y 2 ? z 2)[12 ? ( ? 2) 2 ? 22] ? 4．9 ? 36 ∴
x ? 2y ? 2z
最小值为 ? 6，公式法求 (x ，y ，z) 此时
322)2(26221222-=+-+-==-=z y x ∴ 32-=x ，34=y ，3
4-=z 变式6：设x, y, z ∈R ，若332=+-z y x ，则2
2
2
)1(z y x +-+之最小值为________，又
此时=y ________。
解析：14
36
])1([)332(]1)3(2][)1([2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
≥
+-+++-≥+-++-+z y x z y x z y x ∴最小值
7
18 ∴73=
t ∴7
2-=y 变式7：设a ，b ，c 均为正数且a ? b ? c ? 9，则
c
b a 16
94++之最小值为 解： 2)432(
c c
b b a a ⋅+⋅+⋅ ≤ (
c b a 1694++)(a ? b ? c) ? (c b a 1694++)．9 ? (2 ? 3 ? 4)2 ? 81 ?
c b a 1694++?9
81
? 9 变式8：设a, b, c 均为正数，且232=++c b a ，则c
b a 3
21++之最小值为________
解：: 22222
22)321(])3
()2()1][()3()2()[(++≥++++c
b a
c b a ∴18)3
21(
≥++c
b a ，最小值为18 变式9：设x ，y ，z ? R 且
14)3(5)2(16)1(2
22=-+++-z y x ，求x ? y ? z 之最大、小值: 【解】∵
14
)3(5)2(16)1(2
22=-+++-z y x 由柯西不等式知 [42?（5)2 ? 22]⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+-+++-2
22)
23()52()4
1(
z y x ? ．．．2)52(5)41(4++⎢⎣
⎡+-y x 2
)23(⎥⎦⎤-z ? 25 ? 1 ? (x ? y ? z ? 2)2 ? 5 ? |x ? y ? z ? 2| ? ? 5 ? x ? y ? z ? 2 ? 5 ∴ ? 3 ? x ? y ? z ? 7 故x ? y ? z 之最大值为7，最小值为 ? 3
类型二：利用柯西不等式证明不等式
基本方法：（1）巧拆常数 （例1） （2）重新安排某些项的次序（例2）
（3）改变结构 （例3） （4）添项（例4）
例1．设、、为正数且各不相等，求证：
又、、各不相等，故等号不能成立∴。
例2．、为非负数，+=1，，求证：
∴
即
例3．若>>，求证：
解：，，∴，∴所证结论改为证
∴
例4．，求证：
左端变形，
∴只需证此式即可。
【变式1】设a,b,c为正数，求证：．
，即。
同理，．将上面三个同向不等式相加得，
．
【变式2】设a,b,c为正数，求证：
于是即
【变式3】已知正数满足 证明。
解：
又因为
在此不等式两边同乘以2，再加上
得：
，故。
类型三：柯西不等式在几何上的应用
6．△ABC 的三边长为a 、b 、c ，其外接圆半径为R ，求证：
证明：由三角形中的正弦定理得，所以，
同理，
于是左边= 。
【变式】ΔABC 之三边长为4，5，6，P 为三角形内部一点，P 到三边的距离分别为x ，y ，z ，求
的最小值。
且
4x+5y+6z=
由柯西不等式(4x+5y+6z)2≥(x 2+y 2+z 2)(42+52+62)
≥(x 2+y 2+z 2)×77x 2+y 2+z 2≥。
柯西不等式
等号当且仅当021====n a a a 或i i ka b =时成立（k 为常数，n i 2,1=）
