人教A版选修1-1
《双曲线及其标准方程》
教学设计
课题：双曲线及其标准方程
【教材内容分析】
本节课是高中数学选修1-1第二章第二节第一课时的内容，前面有椭圆知识及学习方法的铺垫，后面有抛物线学习的延续，有利于学生掌握和巩固.三种圆锥曲线中，双曲线是最复杂的一种.但本节课的知识难度不是很大，比较易于学
生理解和掌握.
【学情分析】
知识结构分析：
学生刚刚学习过椭圆，对椭圆有了系统的认知和了解，从定义到方程，从方程到性质，从性质到应用.双曲线虽然和椭圆不同，但研究方法是类似的，所以双曲线的学习可以说是轻车熟路，但是，教师要引导学生关注椭圆与双曲线的区别和联系.
能力体系分析：
本章对学生的运算能力要求较高，而这恰恰是许多学生的弱点，因此在教学过程中在培养学生逻辑推理能力、转化与划归能力的同时需着重关注学生的运算能力.
【教学目标】
通过双曲线轨迹的探索过程，体验双曲线的特征，探求总结双曲线的定义；
通过类比椭圆的标准方程，推导并掌握双曲线的标准方程；
通过对双曲线概念和标准方程的探索，培养学生的观察和分析能力，激发学生探究事物运动规律，进一步认清事物的本质特征的兴趣.
【教学重点】
双曲线的定义；
双曲线标准方程的两种形式.
【教学难点】
双曲线标准方程的推导方法及化简过程.
【教具准备】
多媒体投影仪，几何画板动画
【教学方法】
采用启发、探究式教学.
(一) 创设情境，感知图形
回顾初中时学
习过的反比例函
数的图像；
观察电厂的冷
却塔图片，它的轴
截面的外轮廓就
是双曲线的一部
分.
教师引入，学生回忆初中所学
内容；
多媒体展示图片，学生观察，
实物感知双曲线的形状.
教师引入课题，告知学生本节
课的学习目标、学习重点和学习
难点.这一段可由一名学生代表
阅读.
通过学生熟
悉的知识以及
生活中的实例
让学生感知双
曲线的形状，
这样的两个例
子简单、生动，
学生易于接
受.
(二) 动画演示，引入定义
双曲线是如何
形成的？可以如
何给双曲线下定
义？借助经典的
拉链动画，引导学
生总结动点在运
动过程中的特征，
从而引入双曲线
的定义.
教师手动演示双曲线的形成过
程，先演示靠近
2
F的一支，由学
生总结动点特征:
.
2
1
常数
=
-MF
MF
并解释为什么有这样的特征:
随着拉链的闭拢和拉开，两条线
段减小或增加的量相等，所以差
值始终是同一个常数.
再演示靠近
1
F的那一支，仍
然由学生总结特征:
.
1
2
常数
=
-MF
MF
接着，强调以上两个常数是相
等的，两支曲线合在一起叫做双
曲线，引导学生把两个式子合二
为一:.
2
1
常数
=
-MF
MF
并把数学式子转化成自然语
言，概述双曲线的定义：平面内
到两个定点的距离的差的绝对值
等于常数的点的轨迹叫做双曲
线.(此处暂时不说常数的范围.)
充分调动学
生的积极性，
突出学生的主
体地位，并且
通过总结特征
提高学生的语
言表达能力，
对图形的认知
能力.
学生概述定
义时往往会漏
掉常数的范
围，这个问题
暂时保留，下
一个环节来解
决。
保留常数的
范围这一问
题，由学生自
己发现，方能
印象更加深
刻.
教学
环节
教学内容师生活动设计意图
(四) 类比椭圆，推导方程
回顾椭圆的标准方
程的推导步骤，推导
双曲线的标准方程.
标准方程为
其中.
,0
0>
>b
a
椭圆的标准方程有
两种，双曲线的方程
在推导时也可以换一
种建系方式，得到另
一种形式的方程：
.1
2
2
2
2
=
-
b
x
a
y
其中.
,0
0>
>b
a
两种形式的标准方
程，应该如何判断焦
点所在轴？
学生思考并做答：
在等式右边是1或其
它正常数时，焦点在
系数为正数的轴上.
这与椭圆判断焦点所
在轴的方法也不一
样，同样要给学生强
调.
学生刚刚学习过椭圆，对椭
圆的标准方程的推导过程印
象比较深刻，用同样的步骤推
导双曲线的标准方程：
①建系
以直线
2
1
F
F为x轴，线段
2
1
F
F的垂直平分线为y轴建
立平面直角坐标系.
②设点
设双曲线上任意一点M坐
标为)
,
(y
x，焦距为,c2则
).
,
(
),
,
(0
2
1
c
F
c
F-常数记为
a2.
③写出限制条件
.
2
2
1
a
MF
MF=
-
④列出等式
.
)
(
)
(a
y
a
x
y
a
x2
2
2
2
2=
+
-
-
+
+
⑤化简这一步由学生自己
动手完成，并且找一个学生演
板，最终化简为
像椭圆一样，为了使双曲
线方程的形式更加简洁，结合
,0
>
>a
c可设,2
2
2b
a
c=
-其
中0
>
b(意义讲性质时再涉
及).于是双曲线的方程可化
为.1
2
2
2
2
=
-
b
y
a
x
这就是焦点在
x轴上的双曲线的标准方程，
焦点坐标为).
,
(
),
,
(0
2
1
c
F
c
F-
双曲线与椭圆标准方程中
c
b
a、
、的关系不同，要给学
生强调，这也是今后在做题过
程中学生易混淆的地方.
培养学生的
运算能力.
通过双曲
线与椭圆的对
比，学生可以
加深对两种曲
线的理解.
1
2
2
2
2
2
=
-
-
a
c
y
a
x
.1
2
2
2
2
=
-
b
y
a
x
