专题12 概率与统计综合问题（专项训练）
1．已知某班n 名同学的数学测试成绩(单位：分,满分100分)的频率分布直方图如图所示,其中a ,b ,c 成等差数列,且成绩在[90,100]内的有6人． (1)求n 的值；
(2)若成绩在[40,50)内的人数是成绩在[50,60)内的人数的1
3,规定60分以下为不及格,从不及格的人中任意
选取3人,求成绩在50分以下的人数X 的分布列和数学期望．
【答案】见解析
【解析】(1)依题意得⎩⎪⎨
⎪⎧
100.035＋0.025＋c ＋2b ＋a
＝1，
2b ＝a ＋c
⇒b ＝0.01,
因为成绩在[90,100]内的有6人,所以n ＝6
0.01×10
＝60.
(2)由⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＋c ＝0.02，c ＝3a
⇒⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝0.005，
c ＝0.015，
于是成绩在[40,50)及[50,60)内的人数分别为3和9,即不及格的
人数为12,从中任选3人,则成绩在50分以下的人数X 的所有可能取值为0,1,2,3. 且P (X ＝0)＝C 39C 0
3C 312＝2155,P (X ＝1)＝C 29C 1
3C 312＝27
55,
P (X ＝2)＝C 19C 2
3C 312＝27220,P (X ＝3)＝C 09C 3
3C 312＝1
220,
所以X 的分布列如下
X 0 1 2 3 P
21
55
2755
27220
1220
故X 的数学期望为E (X )＝0×55＋1×55＋2×220＋3×220＝4
.
2．下图是某市11月1日至14日的空气质量指数趋势图,空气质量指数(AQI)小于100表示空气质量优良,空气质量指数大于200表示空气重度污染,某人随机选择11月1日至11月12日中的某一天到达该市,并停留3天．
(1)求此人到达当日空气重度污染的概率；
(2)设ξ是此人停留期间空气重度污染的天数,求ξ的分布列与数学期望． 【答案】见解析
【解析】设A i 表示事件“此人于11月i 日到达该市”(i ＝1,2,…,12)． 依题意知,P (A i )＝1
12
,且A i ∩A j ＝∅(i ≠j )．
(1)设B 为事件“此人到达当日空气重度污染”,则B ＝A 1∪A 2∪A 3∪A 7∪A 12, 所以P (B )＝P (A 1∪A 2∪A 3∪A 7∪A 12)＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＋P (A 7)＋P (A 12)＝5
12.
即此人到达当日空气重度污染的概率为5
12.
(2)由题意可知,ξ的所有可能取值为0,1,2,3.
P (ξ＝0)＝P (A 4∪A 8∪A 9)＝P (A 4)＋P (A 8)＋P (A 9)＝312＝14
, P (ξ＝2)＝P (A 2∪A 11)＝P (A 2)＋P (A 11)＝212
＝16
, P (ξ＝3)＝P (A 1∪A 12)＝P (A 1)＋P (A 12)＝212
＝16,
P (ξ＝1)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝2)－P (ξ＝3)＝1－14－16－16
＝512
,
所以ξ的分布列为
故ξ的数学期望E (ξ)＝0×4＋1×12＋2×6＋3×6＝4
.
3．(2019·焦作模拟)某单位共10名员工,他们某年的收入如下表.
(2)从该单位中任取2人,此2人中年薪收入高于5万的人数记为ξ,求ξ的分布列和期望；
(3)已知员工年薪收入与工作年限成正线性相关关系,若某员工工作第一年至第四年的年薪分别为3万元,4.2万元,5.6万元,7.2万元,预测该员工第五年的年薪为多少？
附：线性回归方程y ^＝b ^
x ＋a ^
中系数计算公式
b ^
＝
∑i ＝1
n
(x i －x －)(y i －y －
)
∑i ＝1
n
(x i －x －
)2
,a ^＝y －－b ^x －
,其中x －,y －
表示样本均值．
【答案】见解析
【解析】 (1)平均值为10万元,中位数为6万元．
(2)年薪高于5万的有6人,低于或等于5万的有4人,ξ取值为0,1,2. P (ξ＝0)＝C 2
4C 210＝215,P (ξ＝1)＝C 14C 1
6C 210＝815,P (ξ＝2)＝C 2
6C 210＝1
3,
所以ξ的分布列为
ξ 0 1 2 P
2
15
815
13
数学期望为E (ξ)＝0×15＋1×15＋2×3＝5
.
(3)设x i ,y i (i ＝1,2,3,4)分别表示工作年限及相应年薪, 则x －
＝2.5,y －
＝5,∑i ＝1
4
(x i －x －
)2
＝2.25＋0.25＋0.25＋2.25＝5,
∑
i ＝14
（x i －x －）(y i －y －)＝－1.5×(－2)＋(－0.5)×(－0.8)＋0.5×0.6＋1.5×2.2＝7,b ^
＝
∑i ＝1
4
(x i －x －
)(y i －y －
)
∑i ＝1
4
(x i －x －
)2
＝7
5
＝1.4, a ^＝y －－b ^x －
＝5－1.4×2.5＝1.5,因此线性回归方程为y ＝1.4x ＋1.5,可预测该员工第5年的年薪收入为
8.5万元．
4．(2018·全国卷Ⅰ)某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,
