几何概型典型例题.

几何概型

1．(2009年高考福建卷)点A 为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B ，则劣弧

的长度小于1的概率为________．

解析：设事件M 为“劣弧

的长度小于1”，则满足事件M 的点B 可以在定点A 的两

侧与定点A 构成的弧长小于1的弧上随机取一点，由几何概型的概率公式得：P (M )＝2

3

.

答案：23

2．(2010年苏、锡、常、镇四市调研)已知如图所示的矩形，长为12，宽为5，在矩形内随机地投掷1000粒黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为600粒，则可以估计出阴影部分的面积约为________．

解析：设所求的面积为S ，由题意得6001000＝S

5×12

，

∴S ＝36.

答案：36

3．在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内任取一点P ，则点P 到点A 的距离小于等于a 的概率为________．

解析：P ＝18×43πa 3a 3＝π

6.

答案：π6

4．(2010年扬州调研)已知集合A {x |－1

3－x

>0}，在集合A 中任取一个元

素x ，则事件“x ∈A ∩B ”的概率是________．

解析：由题意得A ＝{x |－1

元素x ，则x ∈A ∩B 的概率为P ＝1

6

.

答案：16

5．某公共汽车站每隔10分钟就有一趟车经过，小王随机赶到车站，则小王等车时间不超过4分钟的概率是________．

答案：25

6．如图，M 是半径为R 的圆周上一个定点，在圆周上等可能地任取一点N ，连结MN ，则弦MN 的长度超过2R 的概率是________．

解析：连结圆心O 与M 点，作弦MN 使∠MON ＝90°，这样的点有两个，分别记为N 1，N 2，仅当点N 在不包含点M 的半圆弧上取值时，满足MN >2R ，此时∠N 1ON 2＝180°，故所求的概率为

180°360°＝1

2

. 答案：12

7．已知Ω＝{(x ，y )|x ＋y ≤6，x ≥0，y ≥0}，E ＝{(x ，y )|x －2y ≥0，x ≤4，y ≥0}，若向区域Ω内随机投一点P ，则点P 落入区域E 的概率为________．

解析：如图，区域Ω表示的平面区域为△AOB 边界

及其内部的部分，区域E 表示的平面区域为△COD 边界

及其内部的部分，所以点P 落入区域E 的概率为S △COD

S △AOB

＝

1

2×2×412

×6×6＝2

9.

答案：29

8．已知函数f (x )＝－x 2＋ax －b .若a 、b 都是从区间[0,4]任取的一个数，则f (1)＞0成立的概率是________．

解析：f (1)＝－1＋a －b ＞0，即a －b ＞1，如图：

A (1,0)，

B (4,0)，

C (4,3)，S △ABC ＝92，P ＝S △ABC S 矩＝924×4＝9

32.

答案：9

32

9．在区间[0,1]上任意取两个实数a ，b ，则函数f (x )＝1

2

x 3

＋ax －b 在区间[－1,1]上有且仅有一个零点的概率为________．

解析：f ′(x )＝32x 2＋a ，故f (x )在x ∈[－1,1]上单调递增，又因为函数f (x )＝1

2

x 3＋ax －b 在

[－1,1]上有且仅有一个零点，即有f (－1)·f (1)<0成立，即(－12－a －b )(12＋a －b )<0，则(1

2

＋a

＋b )(1

2＋a －b )>0，可化为⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤a ≤1

0≤b ≤1

12

＋a －b >0

12＋a ＋b >0

或⎩⎪⎨⎪⎧

0≤a ≤1

≤b ≤1

12＋a －b <0，

12＋a ＋b <0

由线性规划知识在平面直

角坐标系aOb 中画出这两个不等式组所表示的可行域，再由几何概型可以知道，函数f (x )＝

1

2x 3＋ax －b 在[－1,1]上有且仅有一个零点的概率为可行域的面积除以直线a ＝0，a ＝1，b ＝0，

b ＝1围成的正方形的面积，计算可得面积之比为7

8

.

答案：78

10．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤x ≤60≤y ≤6表示的区域为A ，不等式组⎩

⎪⎨⎪⎧

0≤x ≤6

x －y ≥0表示的区域为B .

(1)在区域A 中任取一点(x ，y )，求点(x ，y )∈B 的概率；

(2)若x ，y 分别表示甲、乙两人各掷一次骰子所得的点数，求点(x ，y )在区域B 中的概率．

解：(1)设集合A 中的点(x ，y )∈B 为事件M ，区域A 的面积为S 1＝36，区域B 的面积为S 2＝18，

∴P (M )＝S 2S 1＝1836＝1

2

.

(2)设点(x ，y )在区域B 为事件N ，甲、乙两人各掷一次骰子所得的点(x ，y )的个数为36

个，其中在区域B 中的点(x ，y )有21个，故P (N )＝2136＝7

12

.

11．(2010年江苏南通模拟)已知集合A ＝{x |－1≤x ≤0}，集合B ＝{x |ax ＋b ·2x －1＜0,0≤a ≤2,1≤b ≤3}．

(1)若a ，b ∈N ，求A ∩B ≠∅的概率； (2)若a ，b ∈R ，求A ∩B ＝∅的概率．

解：(1)因为a ，b ∈N ，(a ，b )可取(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)共9组．

令函数f (x )＝ax ＋b ·2x －1，x ∈[－1,0]， 则f ′(x )＝a ＋b ln2·2x .

因为a ∈[0,2]，b ∈[1,3]，所以f ′(x )＞0， 即f (x )在[－1,0]上是单调递增函数．

f (x )在[－1,0]上的最小值为－a ＋b

2－1.

要使A ∩B ≠∅，只需－a ＋b

2－1＜0，

即2a －b ＋2＞0.

所以(a ，b )只能取(0,1)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)7组．

所以A ∩B ≠∅的概率为7

9.

(2)因为a ∈[0,2]，b ∈[1,3]，

所以(a ，b )对应的区域为边长为2的正方形(如图)，面积为4.

由(1)可知，要使A ∩B ＝∅，

只需f (x )min ＝－a ＋b

2－1≥0⇒2a －b ＋2≤0，所以满足

A ∩

B ＝∅的(a ，b )对应的区域是如图阴影部分．

所以S 阴影＝12×1×12＝1

4

，

所以A ∩B ＝∅的概率为P ＝144＝1

16

.

12．将长为1的棒任意地折成三段，求：三段的长度都不超过a (1

3≤a ≤1)的概率．

解：设第一段的长度为x ，第二段的长度为y ， 第三段的长度为1－x －y ，

则基本事件组所对应的几何区域可表示为Ω＝{(x ，y )|0＜x ＜1,0＜y ＜1,0＜x ＋y ＜1}，此

区域面积为1

2

.

事件“三段的长度都不超过a (1

3

≤a ≤1)”所对应的几何区域可表示为A ＝{(x ，y )|(x ，