2019年北大附中新高一分班考试数学试题-真题-含详细解析

t a n70∘米

si n70∘

米

2019年北大附中新高一分班考试数学试题-真题

一、选择题（本大题共8小题，共24分）

1.如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距200米的P、Q两点分别测定对岸一棵树T的位置，

T在P的正北方向，且T在Q的北偏西70°方向，则河宽(PT的长)可以表示为()

A.200tan70°米

B.200

C.200sin70°米

D.200

2.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为(−1,n)，其部分图象如图所示．以下结论错误的是()

A.abc>0

B.4ac−b2<0

C.3a+c>0

D.关于x的方程ax2+bx+c=n+1无实数根

3.如图，矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=12.将纸片折叠，使点B落在边AD的延长线上的点G处，折痕为

EF，点E、F分别在边AD和边BC上．连接BG，交CD于点K，FG交CD于点H.给出以下结论：

①EF⊥BG；

②GE=GF；

③△GDK△和GKH的面积相等；

④当点F与点C重合时，∠DEF=75°，

其中正确的结论共有()

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

4.下列图中所有小正方形都是全等的．图(1)是一张由4个小正方形组成的“L”形纸片，图(2)是一张由6个小

正方形组成的3×2方格纸片．

把“L”形纸片放置在图(2)中，使它恰好盖住其中的4个小正方形，共有如图(3)中的4种不同放置方法．图

(4)是一张由36个小正方形组成的6×6方格纸片，将“L”形纸片放置在图(4)中，使它恰好盖住其中的4个

小正方形，共有n种不同放置方法，则n的值是()

B. 若|x − 1| > |x − 1|，则y < y

D. 若y = y ，则x = x

A. 160

B. 128

C. 80

D. 48

5.

如图，将矩形 ABCD 折叠，使点 C 和点 A 重合，折痕为 EF ，EF 与 AC 交于点O.若AE = 5，BF = 3，则 AO

的长为( )

A. √5

B. 3 √5

2

C. 2√5

D. 4√5

6.

将一盛有部分水的圆柱形小水杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，现用一个注水管沿大容器内壁匀速注

水，如图所示，则小水杯水面的高度ℎ(cm)与注水时间t (mi n )的函数图象大致为图中的(

)

A.

B.

C. D.

7.

在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，抛物线y = x 2 − 2x − 3与 y 轴交于点 A ，与 x 轴正半轴交于点 B ，连

接 AB ，将Rt △ OAB 向右上方平移，得到Rt △ O′A′B′，且点O′，A′落在抛物线的对称轴上，点B′落在抛物线

上，则直线A′B′的表达式为(

)

A. y = x

B. y = x + 1

C. y = x + 1

D. y = x + 2

2

8.

已知P 1(x 1, y 1)，P 2(x 2, y 2)是抛物线y = ax 2 − 2ax 上的点，下列命题正确的是(

)

A. 若|x 1 − 1| > |x 2 − 1|，则y 1 > y 2 C. 若|x 1 − 1| = |x 2 − 1|，则y 1 = y 2

1 2 1 2

1 2 1 2

⏜

二、填空题（本大题共 8 小题，共 24 分）

9.

如图，在△ ABC 中，按以下步骤作图：

①以点 B 为圆心，任意长为半径作弧，分别交 AB 、BC 于点 D 、E ．

②分别以点 D 、E 为圆心，大于1 DE 的同样长为半径作弧，两弧交于点 F ．

2

③作射线 BF 交 AC 于点 G ．

如果AB = 8，BC = 12△，

ABG 的面积为 18△，则 CBG 的面积为______．

10. 如图，在▱ABCD 中，∠B = 60°，AB = 10，BC = 8，点 E 为边 AB 上的一个动点，连接 ED 并延长至点 F ，使

得DF = 1 DE ，以 EC 、EF 为邻边构造▱EFGC ，连接 EG ，则 EG 的最小值为______．

4

11. 抛物线y = ax 2 + bx + c(a,b ，c 为常数，a < 0)经过A(2,0)，B(−4,0)两点，下列四个结论：

①一元二次方程ax 2 + bx + c = 0的根为x 1 = 2，x 2 = −4； ②若点C(−5, y 1)，D(π, y 2)在该抛物线上，则y 1 < y 2；

③对于任意实数 t ，总有a t 2 + bt ≤ a − b ；

④对于 a 的每一个确定值，若一元二次方程ax 2 + bx + c = p(p 为常数，p > 0)的根为整数，则 p 的值只有两

个．

其中正确的结论是______(填写序号)．

12. 如图，折叠矩形纸片 ABCD ，使点 D 落在 AB 边的点 M 处，EF 为折痕，AB = 1，AD = 2.设 AM 的长为 t ，用

含有 t 的式子表示四边形 CDEF 的面积是______．

第 12 题图

第 13 题图

13. 如图，在△ ABC 中，O 为 BC 边上的一点，以 O 为圆心的半圆分别与 AB ，AC 相切于点 M ，N.已知∠BAC =

120°，AB + AC = 16，MN 的长为π，则图中阴影部分的面积为______．