答案：
1.1 求下列各数的具有四位有效数字的近似值, 并指出其绝对误差限和相对误差限 根据绝对误差计算相对误差的公式：
*2121**
.0105.010
.01021
r n n m
n n
m a a a a a a x x x ε=⨯≤⨯⨯≤--- (1) 05.10,0498756.10101*
11===x x
5
*
*
**52310975.4102
1
1012437.005.10101---⨯<=
=⨯<
⨯=-x
r εεε
(2) 2*
22109901.0,990099009900.0101
1-⨯===
x x 5
*
*
**528-10055.0102
1109909900.0990100.01011---⨯<=
=⨯<⨯=-x r εεε
(3) 111211==x
4
*
*
*4
2*310545.4,0102
1
,01112111
121--⨯==
⨯==-==或或x x r εεε
(4) 303.2,302585.2-)1.0ln(*
41-===x x
4
*
*
**41310117.2102
1
10414907.0330.2--)1.0ln(---⨯<=
=⨯<
⨯=x r ε
εε ）（
1.2 1.2下列各数都是对准确值进行四舍五入得到的近似值, 指出它们的绝对误差限、相
对误差限和有效数字的位数。
位效数字
，有，位效数字或精确值
，有位效数字，有位效数字
，有位效数字，有2101,1021
100.54101,102
1
,5000410159.0,1021
,50.31410166.0,1021
,3015.0310159.0,1021
,0315.02*24*3*5
4*44**44*42**34*40**23*31**1-----------⨯=⨯=⨯=⨯=⨯==⨯=⨯==⨯=⨯==⨯=⨯==r r r r r x x x x x εεεεεεεεεε
1.3 为了使
3
1
的近似值的相对误差不超过0.1%, 问应取几位有效数字? %1.010105.1333.0105.03--*
*=≤=⨯=⨯≤--n n
x
x x ，取n=4位有效数字 1.4 怎样计算下列各题才能使得结果比较精确?
(1) 2
sin
)2
cos(2sin )sin(ε
ε
ε+=-+x x x
(2)
)1(11arctan arctan )1arctan(11
2
++=-+=+⎰
+N N N N x
dx N N
或2)5.0(11
++N 三个公式计算结果比较
1e+001 9.00876529e-003 9.00876529e-003 8.98876404e-003 1e+002 9.90000987e-005 9.90000987e-005 9.89976488e-005 1e+003 9.99000001e-007 9.99000001e-007 9.98999751e-007 1e+004 9.99899998e-009 9.99900000e-009 9.99899998e-009 1e+005 9.99991042e-011 9.99990000e-011 9.99990000e-011 1e+006 1.00010961e-012 9.99999000e-013 9.99999000e-013 1e+007 1.00944643e-014 9.99999900e-015 9.99999900e-015 1e+008 -4.33680869e-019 9.99999990e-017 9.99999990e-017 1e+009 7.80625564e-017 9.99999999e-019 9.99999999e-019 1e+010 -6.94973593e-017 1.00000000e-020 1.00000000e-020
(3) x
x x x x x x x x x x cos 1sin sin )cos 1(sin sin )cos 1()cos 1)(cos 1(sin cos 12+=
+=++-=- (4) o
o o
o o o o 21sin 21cos 11cos 11sin 1cos 11cos 11cos 1222=-+=+-=-或
(5) +⨯+⨯+
=-9-6-3-001
.01031
1021101！
！e
(6) )
11010(1
ln
)
11010()
11010)(11010(ln
)11010ln(8
4
8
4
848484-+=-+-+--=--
)11010ln(84-+-=
1.5 求方程01562
=+-x x 的两个根, 使至少具有四位有效数字。
01786
.01
-2828198.551-28281
-28282
45656242
2212222
,1=+=
=+=+=-±=-±-=x x a ac b b x
1.6设n R x ∈，试证明： ∞∞≤≤x n x x 1 ∞∞
≤≤x n x x
2
212x n x x ≤≤
证明： 1) ∞≤≤=≤≤∞
=≤=≤=∑x n x n x x x x
i n
i n
i i i n
i 111
1max max
2) 2
211
22
12)(max )max (∞≤≤=≤≤∞=≤≤=∑x n x n x x x
i n
i n
i i i n
i
3) 2212112
112
22
x n x n x x x x x
n i i n i n j j i n i i n
i i =≤=⎪⎭⎫ ⎝⎛≤=∑∑∑∑∑===== 其中
∑∑∑===≤n
i i n
i n
j j
i
x n x
x 1211是由下式得到
∑∑∑∑∑∑∑∑========-+=+-=-n i n
j j i n i n j j
i
n i n
j j
j i i
n
i n
j j
i
x x x x x x x x x x
11
11
2211
22
11
2
2)()2(
022211
1
211
11
211
2≥-=-+=∑∑∑∑∑∑∑∑∑=========n
i n
j j i n i i
n i n j j i n i n j j
n i n
j i
x x x n x x x x
1.7设n
n R
A ⨯∈，试证明：
F F
A A A
n
≤≤21
证明：
)(max 2
A A A
T λ=
