初二数学一对一辅导课件113

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D，AD=BC，AB=CD，∠BAD=∠BCD，
∵AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，
∴∠EAB= 1 ∠BAD，∠FCD= 1 ∠BCD，∴∠EAB= ∠FCD，
2
2
在△ABE和△CDF中
∠B＝∠D， AB＝CD ，
∴△ABE≌△CDF，∴BE=DF．
CO的中点，求证：EF∥DG，且EF=DG．
证明：连接DE，FG，
A
∵BD、CE是△ABC的中线，
∴DE是△ABC中位线，
∴DE∥BC，DE= 1 BC，
2
同理：FG∥BC，FG=
1
BC，
2
∴DE∥FG，DE=FG，
E
D
O
F B
G C
∴四边形DEFG是平行四边形，
∴EF∥DG，EF=DG．
针对训练
BD=6cm，则AD的长为（ A ） A．4cm B．5cm C．6cm
D．8cm
解析：∵四边形ABCD是平行四边形，
AC=10cm，BD=6cm
∴OA=OC= 1 AC=5cm，OB=OD= 1 BD=3cm，
2
2
∵∠ODA=90°，
∴AD= OA2 -OD2 =4cm．
故选A．
方法总结
主要考查了平行四边形的性质，平行四边形的对角线互 相平分，解题时还要注意勾股定理的应用.
3.有三个角是直角的四边形
1.定义：一组邻边相等的平行四边形
2.对角线互相垂直的平行四边形
3.四条边都相等的四边形
1.定义：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形
2.有一组邻边相等的矩形
3.有一个角是直角的菱形
三、平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系
5种判 定方法
一个角是直角且一组邻边相等
四、其他重要概念及性质 1.两条平行线之间的距离：
D 3 M
N 6 C
回顾与反思
看似平淡无 奇的现象有 时却隐藏着 深刻的道理
通过今天的学习, 能说说你的收获和体会吗? 你有什么经验与收获让同学们共享呢？
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回 顾
两组对 边平行
一个角是直角且一组邻边相等
∵正边形ABCD是正方形，
∴BD垂直且平分AC，
P·
F
∴PA=PC.
B
∵ PE⊥BC， PF⊥CD，∠BCD=90°， E
C
∴四边形PECF是矩形，
∴EF=PC， ∴AP=EF.
针对训练
4.把正方形ABCD绕着点A，按顺时针方向旋转得到正方 形AEFG，边FG与BC交于点H（如图）.试问线段HG与线 段HB相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想. 解：HG=HB. 证明：连接AH， ∵ 四边形ABCD，AEFG都是正方形， ∴ ∠B=∠G=90°. 由题意知AG=AB，又AH=AH， ∴ Rt△AGH≌Rt△ABH（HL）， ∴ HG=HB.
互相垂直平分且相等，每 中心对称图形 一条对角线平分一组对角 轴对称图形
二、几种特殊四边形的常用判定方法：
四边形 平行
四边形
矩形
菱形 正方形
条件
1.定义：两组对边分别平行 3.两组对角分别相等 5.一组对边平行且相等
2.两组对边分别相等 4.对角线互相平分
1.定义：有一个角是直角的平行四边形
2.对角线相等的平行四边形
两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距 离叫做两条平行线之间的距离. 2.三角形的中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半
3.直角三角形斜边上的中线： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
考点一 平行四边形的性质与判定
例1 如图，在▱ABCD中，∠ODA=90°，AC=10cm，
∠EAB＝∠FCD，
∵AD=BC ，∴AF=EC．Baidu Nhomakorabea
方法总结
利用平行四边形的性质来证明线段或角相等是一种常 用方法.
针对训练
2.如图，四边形ABCD为平行四边形，延长BA至E，延长DC 至F，使BE=DF，AF交BC于H，CE交AD于G.
求证：∠E=∠F. 分析：四边形ABCD
是平行四边形
E
AB∥CD， A
针对训练
1.如图，在▱ABCD中，对角线AC和BD交 于点O，AC=24cm，BD=38cm， AD=28cm，则△BOC的周长是（ B ） A．45cm B．59cm C．62cm D．90cm
例2 如图，已知▱ABCD中，AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，
分别交BC、AD于E、F．求证：AF=EC．
第十八章 平行四边形
小结与复习
一、几种特殊四边形的性质
项目
四边形
边
角
对角线
对称性
对边平行 且相等
对角相等
对边平行 且相等
对边平行 且四边相等
四个角 都是直角
对角相等
对边平行 四个角 且四边相等 都是直角
互相平分
中心对称图形
互相平分且相等
中心对称图形 轴对称图形
互相垂直且平分，每一条 中心对称图形
对角线平分一组对角 轴对称图形
针对训练
5.如图，在正方形ABCD中，点E，H，F，G分别在边 AB，BC，CD，DA上，EF，GH交于点O，∠FOH＝ 90°， EF＝4.则GH的长为 4 . 分析：分别过F，G作垂线， 可证△HGN≌△EFM，于 是可得GH=EF=4.
N
M
考点三 三角形的中位线
例6 △ABC的中线BD、CE相交于O，F，G分别是BO、
如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，点G是BC延长线上一点，连接 AG，点E、F分别在AG上，连接BE、DF，∠1＝∠2，∠3＝∠4.
(1)证明：△ABE≌△DAF； (2)若∠AGB＝30°，求EF的长．
(1)证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD.
在△ABE和△DAF中，
∴△ABE≌△DAF. (2) 解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠1＋∠4＝90°，∵∠3＝∠4， ∴∠1＋∠3＝90°，∴∠AFD＝90°. 在正方形ABCD中， AD∥BC，∴∠1＝∠AGB＝30°. 在Rt△ADF中，∠AFD＝90°，AD＝2，∴AF＝3，DF＝1. 由(1)得△ABE≌△DAF， ∴AE＝DF＝1，∴EF＝AF－AE＝3－1 .
G
AB=CD
AB∥CD
BE=DF， AB=CD
B
AE∥CF，
AE=CF
H F
D C
四边形AFCE是 平行四边形
∠E=∠F
考点二 特殊平行四边形的性质与判定
例3 如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，
过点A作AE∥BD，过点D作ED∥AC，两线相交于点E．
求证：四边形AODE是菱形；
证明：∵AE∥BD，ED∥AC，
6.如图，△ABC中，M是BC的中点，AD是∠BAC的平分线，
BD⊥AD于D，AB=12， AC=18. 则DM的长为 3 .
解析：延长BD交AC与N，
A
易证△ADB≌△ADN，
得AN=AB=12，BD=ND. 所以DM是△BCN的中位线， 12
11
DM= 2 NC= 2 (AC-AN)=3.
B
18
解：四边形CEBO是矩形.
理由如下：已知四边形ABCD是菱形. ∴AC⊥BD. ∴∠BOC=90°.
∵DE∥AC,CE∥BD，
A D
B
O
E
C
∴四边形CEBO是平行四边形.
∴四边形CEBO是矩形.
例4 过正方形ABCD对角线BD上的一点P，作PE⊥BC于E，
PF⊥CD于F.求证：AP=EF
A
D
证明： 连接AC、PC，
∴四边形AODE是平行四边形. ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD，OA=OC= 1 AC，
OB=OD= 1 BD， 2 2
∴OA=OC=OD， ∴四边形AODE是菱形；
针对训练
3.如图，O是菱形ABCD对角线的交点，作BE∥AC，CE∥BD，
BE、CE交于点E，四边形CEBO是矩形吗？说出你的理由.