第四节曲线运动万有引力定律

第四章曲线运动万有引力定律

［考点解读］

知识内容要求说明

1、运动的合成和分解I

2、曲线运动中质点的速度沿轨道的切线I

方向，且必具有加速度

3、平抛运动n

4、匀速率圆周运动，线速度和角速度，n 不要求会推导向心加速度的

周期，圆周运动的向心加速度a=u2/R 公式

5、万有引力定律，重力是物体在地球表n

面附近所受的地球对它的引力

6、万有引力定律的应用，人造地球卫星n

的运动（限于圆轨道）

7、宇宙速度I

本章内容包括圆周运动的动力学部分和物体做圆周运动的能量问题，其核心内容是牛

顿第二定律、机械能守恒定律等知识在圆周运动中的具体应用。本章中所涉及到的基本方法与第二章牛顿定律的方法基本相同，只是在具体应用知识的过程中要注意结合圆周运动的特点：物体所受外力在沿半径指向圆心的合力才是物体做圆周运动的向心力，因此利用矢量合成的方法分析物体的受力情况同样也是本章的基本方法；只有物体所受的合外力的方向沿半径指向圆心，物体才做匀速圆周运动。根据牛顿第二定律合外力与加速度的瞬时关系可知，当物体在圆周上运动的某一瞬间的合外力指向圆心，我们仍可以用牛顿第二定律对这一时刻列出相应的牛顿定律的方程，如竖直圆周运动的最高点和最低点的问题。另外，由于在具体的圆周运动中，物体所受除重力以外的合外力总指向圆心，与物体的运动方向垂直，因此向心力对物体不做功，所以物体的机械能守恒。

［知识网

络］平抛物体的运动特点：初速度水平，只受

重力。分析：水平匀速直线运动与竖直方

向自由落体的合运动。

规律：水平方向Vx = V o, X=V o t

—►竖直方向Vy = gt，y =丄gt2

2

合速度Vt = ^'Vx +V：,

匀速率圆周运动

特点：合外力总指向圆心（又称向心力）。描述量：线速度V,角速度CD，向心加速度a，圆轨道半径r，圆运动周期T。

—► 2 2

规律：F= m =mw r = m \ r

r T2

［解题方法指导］

［例题1］关于互成角度的两个匀变速直线运动的合运动，下述说法中正确的是［］

A. —定是直线运动

B.—定是曲线运动

C.一定是匀变速运动

D.可能是直线运动，也可能是曲线运动

［思路点拨］本题概念性很强，正确进行判定的关键在于搞清物体曲线运动的条件：物体

运动方向与受力方向不在同一直线上.另外题目中“两个匀变速直线运动”并没讲是否有

初速

度，这在一定程度上也增大了题目的难度.

［解题过程］若两个运动均为初速度为零的匀变速直线运动，如

图必为匀变速直线运动.

5 —1(A)所示，则合运

动

若两个运动之一的初速度为零，另一个初速度不为零，如图5 —

1(B)所示，则合运动必为曲线运动.

若两个运动均为初速度不为零的匀变速直线运动，则合运动又

有两种情况：①合速度v与合加速度a不共线，如图5—1(C)

所示.②合速度v与合加速度a恰好共线.显然前者为曲线运

动，后者为直线运动.

由于两个匀变速直线运动的合加速度必恒定，故不仅上述直线

运动为匀变速直线运动，上述曲线运动也为匀变速运动. 本题正

确答案应为：C和D.

［小结］正确理解物体做曲线运动的条件是分析上述问题的关

键.曲线运动由于其运动方向时刻改变(无论其速度大小是否变

化)，必为变速运动.所以曲线运动的物体必定要受到合外力作

用，以改变其运动状态.由于与运动方向沿同一直线的力，只能

改变速度的大小；而与运动方向相垂直的力，才能改变物体的

运动方向.故做曲线运动的物体的动力学条件

*2 V2

CO

应是受到与运动方向不在同一直线的外力作用.

［例题2］一只小船在静水中速度为u,若水流速度为v，要

使之渡过宽度为L的河，试分析为使渡河时间最短，应如何

行驶？

［思路点拨］小船渡河是一典型的运动合成问题. 小船船头

指向(即在静水中的航向)不同，合运动即不同.在该问题中易

出现的一个典型错误是认为小船应按图5—2(A)所示,

逆水向上渡河，原因是这种情况下渡河路程最短，故用时也

最短.真是这样吗？

［解题过程］依据合运动与分运动的等时性，设船头斜向上

游并最终垂直到达对岸所需时间为tA，则

设船头垂直河岸渡河，如图5—2(B)所示，所需的时间为tB，则

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ---- ------ ---- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- L

S AB

显

(: 冷皿S M

比较上面两式易得知：tA >tB •又由于从A点到达对岸的所有路径中AB最短，故

加亞吓—口*

［小结］(1)如果物体同时参加两个(或两个以上)分运动，可以使之依次参加各分运动，最终效果相同，即物体同时参与的分运动是相互独立的、彼此互不干扰，称之为运动的独立性原理.

(2)通过本题对两个互成角度分运动的合成的研究方法已见一斑，关键就是正确使用矢量计算法则•为使之理解更深刻，请参看下面问题.

若已知小船在静水中航速为U，水流速度为v(v > u)，试用矢量运算法则研究船向何方向航行时，船被河水向下游冲的距离最小.

做有向线段AB用以表示水流速度v，再以B端为圆心，以表示小船在静水中速度u大小的线段BC为半径做圆弧，得到图5- 3•依矢量合成法则，该图中从A点向圆弧任意点C所做的有向线段，就应该是此状态下的合速度.

现从A点作圆的切线AD(由图可知)显然有向线段AD所表示的即为向下游所冲距离最小时合速度•由图5- 3也不难看出此时船头指向应由图中a角表示

冲U 冲U

costl = -f Q =arccos^.

¥v

【例3】小船在200 m宽的河中横渡,水流速度为2 m/s,船在静水中的航速是4 m/s,求：(1) 小船怎样过河时间最短，最短时间是多少•(2)小船怎样过河位移最小，最小位移

是多少？

［拓展］上题中如果水流速度是4m/s,船在静水中的航速是

短,最短时间是多少？(2)小船怎样过河位移最小，最小位移

是多少？

［小结］解决这类问题时，首先要明确哪是合运动，哪是分

运动,然后根据合运动和分运动的等时性及平行四边形定则

求解，解题时要注意画好示意图•

【例4】如图所示，在离水面高H的岸边有人以大小为

V0的速度匀速收绳使船靠岸。当船与岸上的定滑轮水平距离为S时，船速是多大？

【解析】收绳时使船靠岸，船水平向左运动(船的实际运动方向)是合运动，其速度为V。可看成是由两个运动的合运动：即一个分运动是沿绳收缩方向，速度大小V1=V0 ;另一个是

2m/s,求⑴ 小船怎样过河时间最