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《强化——周末练》2020.5
1..(2018·湖北百所重点高中联考)已知函数f (x ＋1)＝2x ＋1
x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为( )
A ．1
B ．－1
C ．2
D ．－2
解析：选A f (x ＋1)＝2(x ＋1)－1x ＋1，故f (x )＝2x －1x ，即f (x )＝2－1x ，对f (x )求导得f ′(x )＝1
x 2，则f ′(1)＝1，故所
求切线的斜率为1，故选A.
2.如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )
A ．－1
B ．0
C ．2
D ．4
解析：选B 由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线的斜率为－13，即f ′(3)＝－1
3
，
又g (x )＝xf (x )，g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，由题图可知f (3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×⎝⎛⎭
⎫－1
3＝0. 3.定义在R 上的可导函数f (x )的导函数为f ′(x )，已知函数y ＝2f
′(x )
的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的单调递减区
间为( )A ．(1，＋∞) B ．(1,2)C ．(－∞，2) D ．(2，＋∞)
解析：选D 结合图象可知， 当x ∈(－∞，2]时，2f ′(x )≥1，即f ′(x )≥0； 当x ∈(2，＋∞)时，2f
′(x )
＜1，即f ′(x )＜0；
故函数y ＝f (x )的单调递减区间为(2，＋∞)．
4.(2018·张掖一诊)定义在R 上的可导函数f (x )满足f (1)＝1，且2f ′(x )＞1，当x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，3π
2时，不等式f (2cos x )＞3
2－2sin 2x 2
的解集为( )A.⎝⎛⎭⎫π3，4π3 B.⎝⎛⎭⎫－π3，4π3 C.⎝⎛⎭⎫0，π3 D.⎝⎛⎭⎫－π3，π3 解析：选D 令g (x )＝f (x )－x 2－12，则g ′(x )＝f ′(x )－12＞0，∴g (x )在R 上单调递增，且g (1)＝f (1)－12－1
2＝0，
∵f (2cos x )－32＋2sin 2x 2＝f (2cos x )－2cos x 2－12＝g (2cos x )，∴f (2cos x )＞3
2－2sin 2x 2，即g (2cos x )＞0，∴2cos x ＞1.
又x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，3π2，∴x ∈⎝⎛⎭
⎫－π3，π3. 5．若函数f (x )＝x 3－2cx 2＋x 有极值点，则实数c 的取值范围为( ) A.
⎣⎡⎭⎫32，＋∞ B.⎝⎛⎭⎫32，＋∞ C.⎝⎛⎦⎤－∞，－32∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫－∞，－32∪⎝⎛⎭
⎫32，＋∞
解析：选D 若函数f (x )＝x 3－2cx 2＋x 有极值点，则f ′(x )＝3x 2－4cx ＋1＝0有两个不等实根， 故Δ＝(－4c )2－12＞0，解得c ＞
32或c ＜－32.所以实数c 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－32∪⎝⎛⎭
⎫32，＋∞.
6.已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4在x ＝2处取得极值，若m ，n ∈[－1,1]，则f (m )＋f ′(n )的最小值是( ) A ．－13 B ．－15C ．10 D ．15
解析：选A 求导得f ′(x )＝－3x 2＋2ax ，由函数f (x )在x ＝2处取得极值知f ′(2)＝0，
即－3×4＋2a ×2＝0，所以a ＝3.由此可得f (x )＝－x 3＋3x 2－4，f ′(x )＝－3x 2＋6x ，易知f (x )在[－1,0)上单调递减，在(0,1]上单调递增，所以当m ∈[－1,1]时，f (m )min ＝f (0)＝－4.
又因为f ′(x )＝－3x 2＋6x 的图象开口向下，且对称轴为x ＝1，所以当n ∈[－1,1]时，f ′(n )min ＝f ′(－1)＝－9. 故f (m )＋f ′(n )的最小值为－13.
7．(2017·全国卷Ⅱ)若x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)·e x －1
的极值点，则f (x )的极小值为( )
A ．－1
B ．－2e －
3C ．5e －
3
D ．1
解析：选A 因为f (x )＝(x 2＋ax －1)e x －
1，所以f ′(x )＝(2x ＋a )e x －
1＋(x 2＋ax －1)e x －
1＝[x 2＋(a ＋2)x ＋a －1]e x －
1. 因为x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x
－1
的极值点，所以－2是x 2＋(a ＋2)x ＋a －1＝0的根，
所以a ＝－1，f ′(x )＝(x 2＋x －2)e x －
1＝(x ＋2)(x －1)e x －
1. 令f ′(x )>0，解得x <－2或x >1，令f ′(x )<0，解得－2 所以f (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 所以当x ＝1时，f (x )取得极小值，且f (x )极小值＝f (1)＝－1. 8.(2018·广东韶关六校联考)对于三次函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)，给出定义：设f ′(x )是函数y ＝f (x )的导数，f ″(x )是f ′(x )的导数，若方程f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数g (x )＝2x 3－3x 2＋12，则g ⎝⎛⎭⎫1100＋g ⎝⎛⎭⎫2100＋…＋g ⎝⎛⎭⎫99100＝( )A ．100 B ．50C.992 D ．0 解析：选D ∵g (x )＝2x 3－3x 2＋1 2，∴g ′(x )＝6x 2－6x ，g ″(x )＝12x －6， 由g ″(x )＝0，得x ＝12，又g ⎝⎛⎭⎫12＝2×⎝⎛⎭⎫123－3×⎝⎛⎭⎫122＋12＝0， ∴函数g (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫ 12，0对称，∴g (x )＋g (1－x )＝0， ∴g ⎝⎛⎭⎫1100＋g ⎝⎛⎭⎫2100＋…＋g ⎝⎛⎭⎫99100＝49×0＋g ⎝⎛⎭⎫50100＝g ⎝⎛⎭⎫12＝0.故选D.
