摘要
本文应用插值积分法和逼近论的思想，简单重述了推导Newton-Cotes公式和Gauss-Legendre求积公式的过程，以及这两个公式的系数、精度等问题。并以这两种数值积分的求解方法为基础，应用quad、guass函数编写具体Matlab程序，通过计算机软件计算出所给题目的近似数值积分。对二者所得的结果进行比较，从而研究了用Newton-Cotes和Gauss-Legendre公式求积分的方法和二者的精确度问题。得知，这两种求积公式所得的结果在精度上的确存在差异，结合理论部分更加充分地说明了，n相同时Gauss-Legendre公式比Newton-Cotes公式具有更高的代数精度，但当代数精度相同时，二者计算的结果仍存在细微的差异。
关键字：插值积分、Newton-Cotes公式、Gauss-Legendre公式
数值积分
1 理论依据
逼近论——构造一个简单函数p(x)近似表示f(x),然后对 p(x)求积分得到 f(x)的积分的近似值。基于插值原理，推导出数值积分的基本公式。
1.1插值求积公式
为了用数值方法求
b
a
I(f)=f(x)dx
，对被积函数f(x)在给定的n+1个节点上
作Lagrange插值，用插值函数Pn(x)代替f(x)，就可用I（Pn(x)）构造求积公式，近似地计算定积分I(f(x))。
2 Newton —Cotes 公式
2.1 Newton —Cotes 公式的推导
当§1.1插值求积公式的插值节点为等距节点时，就得到Newton —Cotes 公式。 将区间[a,b]n 等分，
b a
h n -=
，n+1个节点为
x k =a+kh (k=0,1,…,n)
在节点上对f(x)的Lagrange 插值多项式是：
0()()()
n
n j n k k j k j
j k
x x p x f x x x ==≠-=-∑∏
用P n (x)代替f(x)构造求积公式：
0()()()n
n
b
b j
n n k a
a
k j k
j
j k
x x I p x dx f x dx
x
x ==≠-==-∑∏⎰⎰
记错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。(k=0,1,…,n) 作代换x=a+th 带入上式，变为：
()
00()n
n n n k k
j j k
b a t j A dt b a C n k j
=≠∆
--=
=--∏⎰
其中：错误!未找到引用源。 (k=0,1,…,n) （1-1）
这个积分是有理多项式积分，它与被积函数f(x)和区间[a,b]无关。只要确定n 就能计算出系数错误!未找到引用源。。
于是得到称为Newton —Cotes 公式的求积公式：
()0()n
n n k k
k I b a C y ==-∑ （1-2）
其中错误!未找到引用源。称为Newton —Cotes 系数。如表1所示。
n
1 1/
2 1/2
2
1/6
4/6
1/6
3 1/8 3/8 3/8 1/8
4 7/90 32/90 12/90 32/90 7/90
5 19/288 25/9
6 25/144 25/144 25/90 19/288 6
41/840
9/35
9/280
34/105 9/280
9/35
41/840
2.2Newton —Cotes 公式误差和稳定性
在积分公式中用插值多项式Pn(x)代替f(x)的插值误差是
(1)0
()()()()()
(1)!n n
n n k k f R x f x p x x x n ξ+==-=-+∏
因此，Newton —Cotes 公式的截断误差是
(1)0
()()()(1)!n n
b
k a
k f R f x x dx n ξ+==-+∏⎰
（1-3）
讨论舍入误差对计算结果产生的影响，设（1-2）式近似计算()b a
f x dx
⎰
其中计算函数值f(xn)有误差值错误!未找到引用源。（k=0,1,2, …,n ）。在（1-2）式中令错误!未找到引用源。⇒错误!未找到引用源。设计算错误!未找到引用源。无误差，舍入误差也忽略，则，由（1-2）式计算时错误!未找到引用源。引式的误差为
()
()()()
0000()[()(())()(...)
n
n
n n n n n k
k k k n n n k k e b a C
f x C f x b a C C εεε===--+=--++∑∑
如果皆为正，并设错误!未找到引用源。，则错误!未找到引用源。，故错误!未找到引用源。有
界，即引起的误差受控制，不超过()b a ε-倍。保证了数值计算的稳定性。
但当n ≥8时，将出现负数，这时，数值计算的稳定性不能保证，所以节点超过8时Newton —Cotes 公式不能用。
当n 为偶数时，Newton —Cotes 积分公式具有n+1次代数精度。
