数论50题
1．由1，3，4，5，7，8这六个数字所组成的六位数中，能被11整除的最大的数是多少？
【分析】各位数字和为1+3+4+5+7+8=28
所以偶数位和奇数位上数字和均为14
为了使得该数最大，首位必须是8，第2位是7，14-8=6
那么第3位一定是5，第5位为1
该数最大为875413。
2．请用1，2，5，7，8，9这六个数字（每个数字至多用一次）来组成一个五位数，使得它能被75整除，并求出这样的五位数有几个？
【分析】75=3×25
若被3整除，则各位数字和是3的倍数，1+2+5+7+8+9=32
所以应该去掉一个被3除余2的，因此要么去掉2要么去掉8
先任给一个去掉8的，17925即满足要求
1）若去掉8
则末2位要么是25要么是75，前3位则任意排，有3！=6种排法
因此若去掉8则有2*6=12个满足要求的数
2）若去掉2
则末2位只能是75，前3位任意排，有6种排法
所以有6个满足要求
综上所述，满足要求的五位数有18个。
3．已知道六位数20□279是13的倍数，求□中的数字是几？
【分析】根据被13整除的判别方法，用末三位减去前面的部分得到一个两位数，十位是7，个位是（9-□），它应该是13的倍数，因为13|78,所以9-□=8
□中的数字是1
4．某自然数，它可以表示成9个连续自然数的和，又可以表示成10个连续自然数的和，还可以表示成11个连续自然数的和，那么符合以上条件的最小自然数是？（2005全国小学数学奥赛）
【分析】可以表示成连续9个自然数的和说明该数能被9整除，可以表示成连续10个自然数的和说明该数能被5整除，可表示成连续11个自然数的和说明该数能被11整除
因此该数是[9,5,11]=495，因此符合条件的最小自然数是495。
5．一次考试中，某班同学有1
3
考了优秀，
1
2
考了良好，
1
7
考了及格，剩下的人不及格，已知该班同学的人数不超
过50，求有多少人不及格？
【分析】乍一看这应该是一个分数应用题，但实际上用到的却是数论的知识，由于人数必须是整数，所以该班同学的人数必须同时是2，3，7的倍数，也就是42的倍数，又因为人数不超过50，所以只能是42人，因此不及格的人
数为（1-1
2
-
1
3
-
1
7
）×42=1人
6．（1）从1到3998这3998个自然数中，有多少个能被4整除？
（2）从1到3998这3998个自然数中，有多少个数的各位数字之和能被4整除？（第14届迎春杯考题）
【分析】（1）3998/4=999….6所以1-3998中有996个能被4整除的
（2）考虑数字和，如果一个一个找规律我们会发现规律是不存在的
因此我们考虑分组的方法
我们补充2个数，0000和3999，此外所有的一位两位三位数都在前面加上0补足4位
然后对这4000个数做如下分组
（0000，1000，2000，3000）
（0001，1001，2001，3001）
（0002，1002，2002，3002）
…….
(0999，1999，2999，3999)
共1000组，容易发现每一组恰好有个数字和是4的倍数，因此共有1000个数字和是4的倍数
但注意到我们补充了一个0000进去。所以原来的3998个数里，有999个数字和是4的倍数。
7．是否可在下列各数之间添加加号或者减号，使得等式成立？
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10=36
若可以，请写出符合条件的等式；若不可以，请说明理由。
【分析】无论是加还是减，对奇偶性没有影响，如果全是加号的话，那么算出的结果是55是个奇数，因此某些加号变成减号后所得结果仍然是奇数，不可能是36，因此不可能使等式成立。
8．黑板上写着两个数1和2，按下列规则增写新数，若黑板有两个数a和b，则增写a×b＋a＋b这个数，比如可增写5（因为1×2＋1＋2＝5）增写11（因为1×5＋1＋5＝11），一直写下去，问能否得到2008，若不能，说明理由，若能则说出最少需要写几次得到？（2001年同方杯试题改编）
【分析】开始是一奇数一个偶数，根据规则变成的新数是奇数×偶数+奇数+偶数，仍然是一个奇数，此时我们有2个奇数，一个偶数，如果还用奇数和偶数来进行运算的话我们新添的仍然是奇数，若用2个奇数进行运算，则新添的数是奇数×奇数+奇数+奇数，仍然是奇数。因此无论我们怎么算都只能增写奇数，不可能写出2008这个偶数。
9．从1，2，3，4，5，6，7，8，9中任意选出三个数，使它们的和为偶数，则共有几种不同的选法？
【分析】3个数的和是偶数有2种可能
1）三个都是偶数，从2，4，6，8里选3个有4种可能
2）两个奇数一个偶数，从1，3，5，7，9里选2个有10种可能，从2，4，6，8里选一个有4种可能，根据乘法原理有40种选法
综上所述，共有44种不同的选法。
10．已知3个不同质数的和是最小的合数的完全平方，求这3个质数的乘积是多少？
【分析】最小的合数是4，其平方为16
我们知道奇数个奇数的和是奇数，所以这3个质数中必然有2
那么其余2个的和是14
只能一个是3一个是11
因此这3个质数的乘积是2×3×11=66
11．有1997个奇数，它们的和等于它们的乘积。其中有三个数不是1，而是三个不同的质数。那么，这样的三个质数是、、
【分析】设这3个不同的质数分别是a，b，c
根据题意 abc=1994+a+b+c
这3个质数不可能都很大，假如最小的是11的话，那么11*13*17=2431,太大了
所以a，b，c中一定有一个是3，5，7中的
若a=3，那么3bc=1997+b+c,c=(1997+b)/(3b-1)
试验一下发现b=5可以使c是整数，c=143，但143不是质数，b=7，11，13都不行
那么我们不妨再让a=5，那么5bc=1999+b+c
