最新基本不等式基础练习
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1.下列不等式正确的是A .212x x +≥-(B 4(0)x
≥>C )12x x +≥(D )1sin 2()sin x x k x
π+≥≠
2.设0,0a b >>3a 与3b 的等比中项,则11a b
+的最小值为( ) A .8 B .4 C .1 D .
14 3.已知0,0x y >>,且131x y
+=,则2x y +的最小值为( )
A .7+. C .7+ D .14
4.已知M 是△ABC 内的一点,且32=⋅AC AB ,︒=∠30BAC ,若△MBC, △MCA 和△
MAB 的面积分别y x ,,21,则
y x 41+的最小值是( )A.9 B.18 C.16 D.20
5.已知函数
2()(f x x b x a b =+++是偶函数,则此函数的图象与y轴交点
的纵坐标的最大值为 B.2 C.4 D.-2
6.若正实数,x y ,满足26x y xy ++=,则xy 的最小值是 __
7.已知正数x y 、满足3xy x y =++,则xy 的范围是 。
8.函数()120)2
f x x x x =-<<(1)(的最大值是
9. 在等比数列{}n a 中,0n a >,且1816a a ⋅=,则45a a +的最小值为______.
10.不等式4210x x a x +⋅+≥∈R 对一切恒成立,则a 的取值范围是 。
11.已知AD 是ΔABC 的中线,若∠A=120°,2-=⋅,则||的最小值是 12.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且(2a +c)·BC uuu r ·BA u u u r +c CA u u u r ·
CB u u u r
=0.(1)求角B 的大小;(2)若b =AB u u u r ·CB u u u r 的最小值.
13.已知向量m =1sin ,2A ⎛
⎫ ⎪⎝⎭
与n =(3,sinA 共线,其中A 是△ABC 的内角.(1)求角A 的大小;(2)若BC =2,求△ABC 面积S 的最大值,并判断S 取得最大值时△ABC 的形状.
1
(1)求角B的大小;
(2)若S△ABC求b的最小值.
参考答案
1.B
【解析】
试题分析:由题意2333a b a b +=⋅=,所以1a b +=,则()1111()2224b a a b a b a b a b
+=++=++≥+=,故选B. 考点:1.等比数列的性质; 2.均值不等式的应用.
2.A
【解析】
试题分析:∵2212(1)0x x x ++=+≥,∴A
+≥=∴B 错误;
考点:基本不等式.
3.A
【解析】
试题分析:因为0,0x y >>,且131x y
+=,
所以13232(2)()777y x x y x y x y x y +=++
=++≥+=+ A. 考点:基本不等式
4.B.
【解析】
试题分析:
0cos 30AB AC AB AC A BAC •==∠=u u u r u u u r u u u r u u u r Q g g
4AB AC ∴•=u u u r u u u r
1sin 12
ABC S AB AC A ∆∴==u u u r u u u r g g g M Q 是ABC ∆内一点,MBC ∆,MCA ∆和MAB ∆的面积分别为1,,2
x y , 112
x y ∴++= 12
x y ∴+= 又0,0x y >>Q
114144()()()552292y x x y x y x y x y
+=++=++≥+⨯=
1418x y ∴+≥,选B. 考点:1、向量的数量积;2、正弦定理求三角形的面积;3、利用均值不等式求最值.
5.B
【解析】
试题分析:由已知22()(2)f x x b a x a b =+--++是偶函数,则x 的奇次幂前的系数220b a --=即222a b +=,且0b >,此时函数图象与y 轴交点的纵坐标为222()2a b a b +≤+=,当且仅当1a b ==时,等号成立,即最大值为2.
考点:1、二次函数是偶函数即一次项的系数为零;2、利用重要不等式22
2a b ab +≥求最值. 6.当,时,的最小值为18. 【解析】
试题分析:首先可确定2x >,即20x ->,816822x x y x x x x +=+=++--16(2)102
x x =-++-,下面根据基本不等式就可得到结论.
考点:基本不等式求最小值.
7.4
【解析】lg 2x +lg 8y =x lg2+3y lg 2=lg 2,∴x +3y =1,
∴113x y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=113x y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭
·(x +3y )=2+33y x x y +≥4,当且仅当x =12,y =16时取等号. 8843+ 【解析】
试题分析:不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,
当直线(0,0)z ax by a b =+>>,过直线20x y -+=与直线360x y --=的交点(4,6)时,目标函数(0,0)z ax by a b =+>>取得最大6,即466a b +=,即233a b +=,而12a b +=1
22384()()333a b b a a b a b
++=++g 84333≥+843+=. 考点:简单线性规划的应用;基本不等式的应用.
9.256
【解析】
试题分析:约束条件036020
x y o
x y x y ⎧⎪≥⎪⎪≥⎨⎪--≤⎪-+≥⎪⎩的可行域如图所示,
目标函数z=ax+by(a>0,b>0)过点(4,6)时为最大值12,所以4a+6b=12,得:2a+3b=6,a=
632b -,(23a b +)(2a+3b ),4+9+66b a a b +25≥,(当56
a b ==时,等号成立),所以23a b +256≥,即23a b +的最小值是256.