立体几何之内切球与外接球求法(经典习题)
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立体几何之内切球与外接球
一、球与棱柱的组合体问题
1. (优质试题天津理•12)一个长方体的各顶点均在同一球的球面上,且一个顶点上的三条棱
的长分别为1,2,3,则此球的表面积为 . 答案 14π
2.(优质试题山东卷)正方体的内切球与其外接球的体积之比为 ( ) A . 1∶3 B . 1∶3 C . 1∶33 D . 1∶9 答案 C
3.已知正方体外接球的体积是π3
32
,那么正方体的棱长等于( ) A.22 B.
332 C.324 D.3
3
4 4.(吉林省吉林市优质试题届上期末)设正方体的棱长为23
3,则它的外接球的表面积为( )
A .π3
8
B .2π
C .4π
D .π3
4 答案C
5.(优质试题全国Ⅱ理•15)一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2 cm 的球面上。如果正四
棱柱的底面边长为1 cm ,那么该棱柱的表面积为 cm 2.
答案 2+
6.(优质试题海南、宁夏理科)一个六棱柱的底面是正六边
形,其侧棱垂直底面.已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,且该六棱柱的体积为98,底面周长为3,则这个球的体积为 .
答案 3
4π
7.(优质试题辽宁文)已知点P,A,B,C,D 是球O 表面上的点,PA ⊥平面ABCD,四
边形ABCD 是边长为
2正方形.若
PA=2,则△OAB 的面积为______________. 二、锥体的内切球与外接球
8.(辽宁省抚顺一中优质试题届高三数学上学期第一次月考)
棱长为2
球面上,若过该球球心的一个截面如图,则图中 三角形(正四面体的截面)的面积是 . 答案
9.(优质试题辽宁)如图,半径为2的半球内有一内接正六棱锥 P ABCDEF -,则此正六棱锥的侧面积是________. 答案
10. (陕西理•6)一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上,其中底面
的三个顶点在该球的一个大圆上,则该正三棱锥的体积是( )
F
A .4
33
B .
3
3 C .
4
3 D .
12
3
答案 B
11.(优质试题枣庄一模)一个几何体的三视图如右图所示,则该几何体外接球的表面积为 ( ) A .π3 B .π2
C .
3
16π
D .以上都不对
答案C
12.正三棱柱111ABC A B C -内接于半径为2的球,
若22的边长为ABC ∆,则正三棱柱的体积为 .答案 8 高三补充题:
(1)已知长方体的一个顶点上的三条棱长分别是h ,8,4,且它的8个顶点都在同
一个球面上,这个球面的表面积为100π,则________=h (答:52)
(2)三棱锥ABC P -的四个顶点都在半径为4的球面上,且
三条侧棱
两两互相垂直,则该三棱锥侧面积的最大值为__________(答案:32)
(3)一个空间几何体的三视图如图所示,且这个空间几何体的所有顶点
都在同一个球面上,则这个球的表面积是 .(答:16π)
(4)在三棱柱111C B A ABC -中,侧棱1AA 垂直底面,,1,30,9000==∠=∠BC BAC ACB
且三棱柱 111C B A ABC -的体积为3,则三棱柱111C B A ABC -的外接球表面积为______(答:16π)
(5) 在四面体ABCD 中,,5,4,6======BC AD BD AC CD AB
则四面体ABCD 的外接球表面积为______(答:即长方体的外接球表面积:
2
77π
) (6)四棱锥ABCD P -的底面是边长为24的正方形,侧棱长都等于54,则经
过该棱锥五个顶点的球面面积为________(答:100π)
(7)正三角形ABC 的边长为2,将它沿高AD 翻折,使点B 与点C 间的距离为1,此时四面体ABCD
外接球表面积为______(答:
3
13π
) (8)已知O 的直径,4=PQ C B A ,,是球O 球面上的三点,ABC ∆是正三角形,且
,300=∠=∠=∠CPQ BPQ APQ 则三棱锥ABC P -的体积为( B )
A.
433 B.439 C.233 D.4
3
27 (9)(长春第四次调研试题)已知空间4个球,它们的半径分别为2,2,3,3,,每个
球都与其他三个球外切,另有一个小球与这4个球都外切,则这个小球的半径为( B ) A.
117 B.116 C.115 D .11
4 (10)(辽、哈、东北师大一联模)球O 的球面上有四点,,,,C B A S 其中C B A O ,,,四
点共面,ABC ∆是边长为2的正三角形,面SAB ⊥面ABC ,则棱锥ABC S -的体积的最大值为(D ) A. 3 B.3
1
C.
23 D.3
3 (11) (快乐考生预测卷一)已知正方体1111D C B A ABCD -的各顶
点都在同一个球面上,若四面体11CD B A -的表面积为83, 则球的体积为
_________(答:π34)
(12)(快乐考生预测卷四)如图,一个几何体三视图的正视图和侧视图为边长
为2锐角600的菱形,则此几何体的内切球表面积为( ) A. π8 B.π4 C.π3 D.π2
(13)(快乐考生预测卷五)在平行四边形ABCD 中,0=⋅→
→
BC AB ,622
2
=+→
→BD AB ,
若将ABD ∆沿BD 折成直二面角C BD A --,则三棱锥BCD A -外接球的表面积为________(答:6π)
(14)已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上,且,32,6==BC AB 则
棱锥ABCD O -的体积为________(答:38)
(15)点A,B,C,D 在同一个球的球面上,,2,2===AC BC AB 若四面体ABCD 体积
的最大值为3
2
,则这个球的表面积为 (答:C) A.
6125π B.π8 C 425π D.16
25π